Problema 3. Determinar o polinômio de grau dois que melhor aproxima, pelo método dos mínimos quadrados, a tabela
x 0 1 2 3 4
y 1 2 1 0 4

Passo 1

O problema nos dá cinco pontos (x,y) e pede o polinômio de grau 2 p(x)=ax^2+bx+c que minimiza o erro ao quadrado. Esse é conteúdo de ajuste por mínimos quadrados para regressão polinomial de grau 2; vamos precisar das equações normais que envolvem somas de potências de x e de produtos x^k y.

Passo 2

Para um polinômio p(x)=ax^2+bx+c, as equações normais são obtidas impondo sumi(p(xi)-yi)xi^k=0 para k=0,1,2. Isso gera o sistema:
asum xi^4 + bsum xi^3 + csum xi^2 = sum xi^2 yi
asum xi^3 + bsum xi^2 + csum xi = sum xi yi
asum xi^2 + bsum xi + c,n = sum yi

Passo 3

Calculando as somas pela tabela: n=5, sum xi=10, sum xi^2=30, sum xi^3=100, sum xi^4=354, sum yi=8, sum xi yi=20, sum xi^2 yi=70. Substituindo essas somas no sistema, obtemos:
354a + 100b + 30c = 70
100a + 30b + 10c = 20
30a + 10b + 5c = 8

Passo 4

Para simplificar, dividimos a terceira equação por 5:
6a + 2b + c = 1.6
e isolamos c = 1.6 - 6a - 2b. Substituindo c nas duas primeiras equações, ficamos com um sistema em a e b:
Da segunda equação:
100a + 30b + 10(1.6 - 6a - 2b) = 20
que leva a
20a + 5b = 2

Passo 5

Da primeira equação:
354a + 100b + 30(1.6 - 6a - 2b) = 70
que leva a
87a + 20b = 11

Passo 6

Para resolver
20a + 5b = 2, 87a + 20b = 11 fazemos, por exemplo, b = 0.4 - 4a e substituímos na segunda linha, chegando a
a = tfrac37, b = -tfrac4635 Por fim,
c = 1.6 - 6cdottfrac37 - 2l(-tfrac4635r) = tfrac5835

Resposta

O polinômio de grau 2 por mínimos quadrados é
p(x)=37x^2 - 4635x + 5835

Exercícios relacionados