Problema 3. Determinar o polinômio de grau dois que melhor aproxima, pelo método dos mínimos quadrados, a tabela
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
y | 1 | 2 | 1 | 0 | 4 |
Passo 1
O problema nos dá cinco pontos (x,y) e pede o polinômio de grau 2
que minimiza o erro ao quadrado. Esse é conteúdo de ajuste por mínimos quadrados para regressão polinomial de grau 2; vamos precisar das equações normais que envolvem somas de potências de x e de produtos
.
Passo 2
Para um polinômio
, as equações normais são obtidas impondo
para
. Isso gera o sistema:
Passo 3
Calculando as somas pela tabela:
,
,
,
,
,
,
,
. Substituindo essas somas no sistema, obtemos:
Passo 4
Para simplificar, dividimos a terceira equação por 5:
e isolamos
. Substituindo
nas duas primeiras equações, ficamos com um sistema em
e
:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
que leva a
Passo 5
Da primeira equação:
que leva a
Passo 6
Para resolver
Resposta
O polinômio de grau 2 por mínimos quadrados é