O volume de agua que armazenada um tanque esférico pode ser calculado como
V=(pi / 3) h^2(3 R-h)
, onde R representa o vazio do tanque é h a profundidade da agua nele. Se R=1, ate qual profundidade o tanque deve ser enchido para que armazene 10 m^3 ? Use três iterações do método de Newton-Raphson para determinar a resposta. Obtenha a primeira iteração com o método de bissecção

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um tanque esférico de raio V(h)=pi3,h^2,(3R - h) e o volume de água até a profundidade f(h)=pi3h^2(3 - h);-;10 é
Aqui e a gente quer achar tal que . Como não tem solução analítica fácil, a ideia é definir a função
e usar métodos numéricos (uma iteração de bissecção pra achar um chute inicial, e depois três iterações de Newton–Raphson). Vamos precisar:
  • Saber calcular e sua derivada .
  • Entender como funciona bissecção (dividir intervalos) e Newton (chute novo = chute velho – ).

Passo 2

Primeiro, o método da bissecção para achar um chute inicial. Precisamos de um intervalo c=a+b2=-2+02=-1 com . Testando:
  • (negativo)
  • (positivo)
    Então funciona. A bissecção faz o ponto médio
Esse é nosso primeiro chute pra Newton.

Passo 3

Agora Newton–Raphson. A fórmula geral é
hrm new=hrm old-f(hrm old)f'(hrm old)
Primeiro precisamos de f(h)=pi3h^2(3-h)-10, . Como
f'(h)=ddhl[pi3h^2(3-h)r] =pi3l(2h(3-h)-h^2r) =pi,h,(2-h)
derivando:
h1 = -1 - -5,8112-9,4248 approx -1 - 0,6169 = -1,6169
Escolhendo :

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Passo 4

Segunda iteração Newton: em h2 = h1 - f(h1)f'(h1) approx -1,6169 - 2,649-18,370 approx -1,4726 :

Passo 5

Terceira iteração Newton: em h3 = h2 - 0,147-16,058 approx -1,4726 + 0,0092 = -1,4634 :

Resposta

Depois de 3 iterações de Newton (e 1 de bissecção) chegamos a
boxedh approx -1,4634 metros
Obs.: esse resultado é matematicamente o zero de , mas fisicamente não faz sentido ter profundidade negativa. Na prática, não há solução real positiva porque o volume máximo do tanque (em ) é , bem menor que 10 m³.

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