O volume de agua que armazenada um tanque esférico pode ser calculado como
, onde
representa o vazio do tanque é
a profundidade da agua nele. Se
, ate qual profundidade o tanque deve ser enchido para que armazene
? Use três iterações do método de Newton-Raphson para determinar a resposta. Obtenha a primeira iteração com o método de bissecção
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um tanque esférico de raio
e o volume de água até a profundidade
é
Aqui
e a gente quer achar
tal que
. Como não tem solução analítica fácil, a ideia é definir a função
e usar métodos numéricos (uma iteração de bissecção pra achar um chute inicial, e depois três iterações de Newton–Raphson). Vamos precisar:
- Saber calcular
e sua derivada . - Entender como funciona bissecção (dividir intervalos) e Newton (chute novo = chute velho –
).
Passo 2
Primeiro, o método da bissecção para achar um chute inicial. Precisamos de um intervalo
com
. Testando:
-
(negativo) -
(positivo)
Entãofunciona. A bissecção faz o ponto médio
Esse é nosso primeiro chute pra Newton.
Passo 3
Agora Newton–Raphson. A fórmula geral é
Primeiro precisamos de
. Como
derivando:
Escolhendo
:
-
-
Logo
Passo 4
Segunda iteração Newton: em
:
Passo 5
Terceira iteração Newton: em
:
Resposta
Depois de 3 iterações de Newton (e 1 de bissecção) chegamos a
Obs.: esse resultado é matematicamente o zero de
, mas fisicamente não faz sentido ter profundidade negativa. Na prática, não há solução real positiva porque o volume máximo do tanque (em
) é
, bem menor que 10 m³.