Use a integração de Romberg para calcular uma aproximação para
.
Calcule a tabela de Romberg até que
ou até
. Compare os resultados com os valores exatos das integrais.
Calcule a tabela de Romberg até que
Passo 1
O problema pede para aproximar a integral
usando a integração de Romberg, até que
ou até
. Vamos usar a regra do trapézio com subdivisões em potências de 2 e depois aplicar a extrapolação de Richardson (fórmula de Romberg).
Passo 2
Definimos
. A regra do trapézio com
subintervalos de largura
é
Calculamos sucessivamente
Passo 3
A tabela de Romberg satisfaz:
$$R_{k,1}=T_{2^{k-1}},\qquad R_{k,j}=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^{j-1}-1}.
$$
Passo 4
Calculamos as diferenças
. Repetindo o mesmo processo até
, obtemos em
:
$$|R_{9,9}-R_{10,10}|<10^{-6},\qquad R_{10,10}\approx0.19225936.
$$
Passo 5
Para comparar, achamos a integral exata analiticamente. Uma primitiva é
logo
$$I=F(1.5)-F(1)=\frac{(1.5){3}}{3}\ln1.5-\frac{(1.5){3}}{9}+\frac{1}{9}=1.125\ln1.5-0.2638889\approx0.19225936.
$$
Passo 6
Aproximação de Romberg em
coincide com o valor exato dentro da tolerância
.
Resposta
Aproximação de Romberg (m=10):
; Valor exato:
.