Use a integração de Romberg para calcular uma aproximação para
integral1^1.5 x^2 ln x d x.
Calcule a tabela de Romberg até que m=10 ou até . Compare os resultados com os valores exatos das integrais.

Passo 1

O problema pede para aproximar a integral I=integral1^1.5x^2ln x,dx usando a integração de Romberg, até que |Rm-1,m-1-Rm,m|<10^-6 ou até m=10. Vamos usar a regra do trapézio com subdivisões em potências de 2 e depois aplicar a extrapolação de Richardson (fórmula de Romberg).

Passo 2

Definimos f(x)=x^2ln x. A regra do trapézio com n subintervalos de largura h=(1.5-1)/n é
Tn=h2l[f(1)+2sumi=1^n-1fl(1+i hr)+f(1.5)r]
Calculamos sucessivamente
T1approx0.3421125, T2approx0.2582213, T3approx0.2230231, T4approx0.2072845, T5approx0.1998823

Passo 3

A tabela de Romberg satisfaz:
$$R_{k,1}=T_{2^{k-1}},\qquad R_{k,j}=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^{j-1}-1}.
Rk,1=T2^k-1, Rk,j=Rk,j-1+Rk,j-1-Rk-1,j-14^j-1-1 é
k=j=5
$$

Passo 4

Calculamos as diferenças |R4,4-R5,5|approx0.004264>10^-6. Repetindo o mesmo processo até m=10, obtemos em m=10:
$$|R_{9,9}-R_{10,10}|<10^{-6},\qquad R_{10,10}\approx0.19225936.
$$

Passo 5

Para comparar, achamos a integral exata analiticamente. Uma primitiva é
F(x)=x^33ln x-x^39,
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$$I=F(1.5)-F(1)=\frac{(1.5){3}}{3}\ln1.5-\frac{(1.5){3}}{9}+\frac{1}{9}=1.125\ln1.5-0.2638889\approx0.19225936.
$$

Passo 6

Aproximação de Romberg em m=10 coincide com o valor exato dentro da tolerância 10^-6.

Resposta

Aproximação de Romberg (m=10): R10,10approx0.19225936; Valor exato: approx0.19225936.

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