Considere a integral
.
Sabendo que o valor exato (usanda 5 casas decimais) da integral é 0,74682 , quantas subdivições seriam necessárias para que a regra dos trapézios conseguir a mesma precisão que obteve-se com a quadratura Gaussiana?
Sabendo que o valor exato (usanda 5 casas decimais) da integral é 0,74682 , quantas subdivições seriam necessárias para que a regra dos trapézios conseguir a mesma precisão que obteve-se com a quadratura Gaussiana?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. O valor exato dessa integral, com 5 casas decimais, é 0,74682. Agora, queremos descobrir quantas subdivisões precisamos usar na regra dos trapézios para que ela dê esse mesmo resultado preciso que a quadratura Gaussiana. Para isso, vamos revisar um pouco como funciona a regra dos trapézios e como calcular o erro dela.
Passo 2
Primeiro, a regra dos trapézios é um método numérico para aproximar o valor de integrais. Ela divide a área sob a curva em trapézios e soma essas áreas. Quanto mais subdivisões a gente usar, mais precisa a aproximação fica. A fórmula geral para o erro da regra dos trapézios é:
Aqui,
é o erro,
e
são os limites da integral,
é o número de subdivisões, e
é a segunda derivada da função que estamos integrando.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. A função que estamos integrando é
. Primeira derivada:
. Segunda derivada:
. Agora, precisamos encontrar o máximo de
no intervalo de 0 a 1.
Passo 4
Como
é uma função decrescente nesse intervalo, o valor máximo ocorre em
. Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula do erro:
Queremos que esse erro seja menor ou igual a 0,000005 (já que queremos 5 casas decimais de precisão):
Passo 6
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar
:
Como
precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima.
Resposta
Seriam necessárias 130 subdivisões na regra dos trapézios para alcançar a precisão de 5 casas decimais.