Considere a integral integral0^1 e^-x d x.
Sabendo que o valor exato (usanda 5 casas decimais) da integral é 0,74682 , quantas subdivições seriam necessárias para que a regra dos trapézios conseguir a mesma precisão que obteve-se com a quadratura Gaussiana?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral integral0^1 e^-x dx. O valor exato dessa integral, com 5 casas decimais, é 0,74682. Agora, queremos descobrir quantas subdivisões precisamos usar na regra dos trapézios para que ela dê esse mesmo resultado preciso que a quadratura Gaussiana. Para isso, vamos revisar um pouco como funciona a regra dos trapézios e como calcular o erro dela.

Passo 2

Primeiro, a regra dos trapézios é um método numérico para aproximar o valor de integrais. Ela divide a área sob a curva em trapézios e soma essas áreas. Quanto mais subdivisões a gente usar, mais precisa a aproximação fica. A fórmula geral para o erro da regra dos trapézios é:
|ET| <= (b - a)^312 n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Aqui, ET é o erro, a e b são os limites da integral, n é o número de subdivisões, e f''(x) é a segunda derivada da função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. A função que estamos integrando é f(x) = e^-x. Primeira derivada: f'(x) = -e^-x. Segunda derivada: f''(x) = e^-x. Agora, precisamos encontrar o máximo de f''(x) no intervalo de 0 a 1.

Passo 4

Como f''(x) = e^-x é uma função decrescente nesse intervalo, o valor máximo ocorre em x = 0. Então, max0 <= x <= 1 |f''(x)| = e^0 = 1.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula do erro:
|ET| <= (1 - 0)^312 n^2 cdot 1 = 112 n^2
Queremos que esse erro seja menor ou igual a 0,000005 (já que queremos 5 casas decimais de precisão):
112 n^2 <= 0,000005

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar n:
12 n^2 >= 10,000005 12 n^2 >= 200000 n^2 >= 20000012 n^2 >= 16666,6667 n >= raiz16666,6667 n >= 129,10
Como n precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Resposta

Seriam necessárias 130 subdivisões na regra dos trapézios para alcançar a precisão de 5 casas decimais.

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