Considere integral-1^1 e^x^2 d x
(a) Encontre uma aproximação com 6 divisões, usando método de trapézio.
(b) Obtenha uma estimativa para limitante de erro no caso do método de Trapézio.
© Encontre uma aproximação com 6 divisões, usando o método de Simpson.
(d) Obtenha uma estimativa para limitante de erro no caso do método de Simpson.
(e) Compara os dois métodos e discuta.

Passo 1

A questão pede para aproximarmos o integral integral-1^1e^x^2,dx usando os métodos numéricos do trapézio e de Simpson com 6 subintervalos e estimarmos os limites de erro de cada método. Vamos precisar das fórmulas de aproximação, dos valores de f(x)=e^x^2 nos nós e das fórmulas de cota de erro que envolvem f''(x) e f^(4)(x).

Passo 2

Definimos o passo h=1-(-1)6=tfrac13 e os nós
xi=-1+i,h, i=0,1,dots,6
Calculamos
f(x0)=f(-1)=e^1,;f(x1)=f(-2/3)=e^4/9,;f(x2)=f(-1/3)=e^1/9,;f(x3)=f(0)=1,
e pelos simetria os mesmos valores em x4,x5,x6. Aplicamos a fórmula do trapézio:
T6=h2l(f0+2(f1+f2+f3+f4+f5)+f6r) =13l(e+e2+sumi=1^5f(xi)r) approx3.02417

Passo 3

Para o erro do método do trapézio usamos a cota
|ET|<=(b-a)^312n^2max[-1,1]|f''(x)|
Como f''(x)=2e^x^2(1+2x^2), em x=pm1 atinge 6e. Logo
|ET|<=2^312cdot6^2,6e=e9approx0.30203

Passo 4

Usando Simpson com mesmo h=1/3, temos a regra
S6=h3l(f0+4(f1+f3+f5)+2(f2+f4)+f6r) =19l(2e+4(1.5596+1+1.5596)+2(1.1175+1.1175)r) approx2.93149

Passo 5

A cota de erro de Simpson é
|ES|<=(b-a)^5180n^4max[-1,1]|f^(4)(x)|
Calcula-se f^(4)(x)=4e^x^2(3+12x^2+4x^4) e em x=pm1 vale 76e. Logo
|ES|<=2^5180cdot6^4,76e=76e7290approx0.02827

Passo 6

Comparando os métodos, vemos que Simpson dá aproximação muito mais próxima do valor exato approx2.92530 (erro≈0.0062) do que o trapézio (erro≈0.0989). Além disso, a cota de erro de Simpson é bem menor que a do trapézio, mostrando maior eficiência para funções suaves como e^x^2.

Resposta

(a) T6approx3.02417 (b) Cota de erro: |ET|<= e/9approx0.30203 © S6approx2.93149 (d) Cota de erro: |ES|<=76e/7290approx0.02827 (e) Simpson é muito mais preciso (erro ≈0.0062) que o trapézio (erro ≈0.0989) e tem cota de erro menor, portanto mais eficiente para integral-1^1e^x^2dx.

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