Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Quando os pontos base for igualmente espaçados, o polinômio interpolador de Newton e de Newton Gregory coincidem.
(b) O erro cometido pelo pelo polinômio interpolador de Lagrange costuma ser maior que do polinômio de Newton.
© O polinômios de grau n ajustado com n+1 pontos, através do método de mínimos quadrados é mesmo do polinômio interpolador ajustados nestes pontos
(d) Regressão linear é um caso de mínimos quadrados.
(e) Polinômio interpolador é uma técnica para obter o polinômio de Taylor sem recorrer as derivadas.
(f) Fenômeno de Runge é o aumento de erros próximo dos extremos do intervalo quando aumenta o grau do polinômio interpolador.

Passo 1

O enunciado pede para marcar Verdadeiro ou Falso em seis afirmações envolvendo interpolação (Newton, Lagrange), mínimos quadrados, regressão e fenômeno de Runge, e justificar cada resposta usando conceitos desses tópicos.

Passo 2

(a) Verdadeiro. Quando os nós são igualmente espaçados, as diferenças divididas de Newton coincidem com as diferenças finitas usadas no polinômio de Newton–Gregory, logo as duas fórmulas geram o mesmo interpolador.

Passo 3

(b) Falso. O polinômio de Lagrange e o de Newton são exatamente o mesmo interpolador (apenas expressos de forma diferente), então o erro de interpolação em qualquer ponto é idêntico em ambos.

Passo 4

© Verdadeiro. Ajustar um polinômio de grau n a n+1 pontos por mínimos quadrados leva a um sistema fatorável único que, nesse caso, força o polinômio a passar por todos os pontos, igualando o interpolador.

Passo 5

(d) Verdadeiro. A regressão linear é precisamente o caso em que o modelo ajustado por mínimos quadrados é um polinômio de grau 1, ou seja, uma reta.

Passo 6

(e) Falso. O polinômio interpolador usa apenas valores da função em nós distintos, enquanto o polinômio de Taylor é construído a partir de derivadas em um ponto. Eles costumam ser diferentes.

Passo 7

(f) Verdadeiro. O fenômeno de Runge descreve como, ao aumentar o grau do interpolador em nós igualmente espaçados, o erro cresce nos extremos do intervalo causando oscilações acentuadas.

Resposta

(a) Verdadeiro; (b) Falso; © Verdadeiro; (d) Verdadeiro; (e) Falso; (f) Verdadeiro.

Exercícios relacionados