Seja
e
, polinômios interpoladores de
e
respectivamente, com mesmos pontos base. Mostre que o polinômio interpolador de
para mesmo ponto base é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados os polinômios interpoladores
de
e
de
nos mesmos pontos
, o polinômio interpolador de
nesses pontos é exatamente
. O conteúdo envolvido é interpolação polinomial e vamos precisar usar a definição de interpolador (valores nos nós) e a unicidade do polinômio interpolador de grau ≤
.
Passo 2
Para cada nó
, sabemos pela definição de interpolação que
e
. Isso é a essência de o que significa ser interpolador: reproduzir o valor da função nos pontos base.
Passo 3
Definimos então o polinômio
. Como soma de dois polinômios de grau ≤
, temos que
também é de grau ≤
. Além disso, para cada
:
Passo 4
Pelo teorema de unicidade da interpolação polinomial, existe um único polinômio de grau ≤
que interpola
nos nós
. Como
satisfaz essa condição, concluímos que ele é justamente o interpolador de
.
Resposta
O polinômio interpolador de
nos mesmos pontos base é