Seja pn(x) e qn(x), polinômios interpoladores de f e g respectivamente, com mesmos pontos base. Mostre que o polinômio interpolador de f+g para mesmo ponto base é pn(x)+qn(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados os polinômios interpoladores pn(x) de f e qn(x) de g nos mesmos pontos x0,x1,dots,xn, o polinômio interpolador de f+g nesses pontos é exatamente pn(x)+qn(x). O conteúdo envolvido é interpolação polinomial e vamos precisar usar a definição de interpolador (valores nos nós) e a unicidade do polinômio interpolador de grau ≤ n.

Passo 2

Para cada nó xi, sabemos pela definição de interpolação que pn(xi)=f(xi) e qn(xi)=g(xi). Isso é a essência de o que significa ser interpolador: reproduzir o valor da função nos pontos base.

Passo 3

Definimos então o polinômio rn(x)=pn(x)+qn(x). Como soma de dois polinômios de grau ≤ n, temos que rn também é de grau ≤ n. Além disso, para cada i=0,1,dots,n:
rn(xi)=pn(xi)+qn(xi)=f(xi)+g(xi)=(f+g)(xi)

Passo 4

Pelo teorema de unicidade da interpolação polinomial, existe um único polinômio de grau ≤ n que interpola f+g nos nós x0,dots,xn. Como rn(x) satisfaz essa condição, concluímos que ele é justamente o interpolador de f+g.

Resposta

O polinômio interpolador de f+g nos mesmos pontos base é
pn(x)+qn(x)

Exercícios relacionados