Considere
. Quantas divisões são necessária para obter uma aproximação de 5 casas decimais, usando
(a) Método de trapézio
(b) Método de simpson
(a) Método de trapézio
(b) Método de simpson
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral de 0 a 2 de x e^x usando métodos numéricos (trapézio e Simpson) de forma que o erro seja menor que 10^{-5}. Vamos usar as fórmulas de cota de erro desses métodos, que envolvem derivadas de f(x)=x e^x.
Passo 2
Primeiro, calculamos f’’(x) para aplicar a cota do trapézio. Como f(x)=x e^x, temos f’(x)=e^x(1+x) e f’’(x)=e^x(x+2). Em [0,2], o máximo de |f’’(x)| ocorre em x=2, logo |f’’(x)|≤4e^2.
Passo 3
A cota de erro do trapézio composto é
Queremos
.
Passo 4
Resolvendo para n:
Portanto, precisaremos de pelo menos 1403 subdivisões.
Passo 5
Agora, para Simpson, precisamos de f^{(4)}(x). Partindo de f’’(x)=e^x(x+2), obtemos f{(3)}(x)=ex(x+3) e f{(4)}(x)=ex(x+4). Em [0,2], |f{(4)}(x)|≤6e2.
Passo 6
A cota de erro de Simpson composto é
Queremos
.
Passo 7
Resolvendo para n:
Como Simpson exige n par, tomamos n=30.
Resposta
São necessárias 1403 subdivisões para o método do trapézio e 30 subdivisões para o método de Simpson.