Considere integral0^2 x e^x d x. Quantas divisões são necessária para obter uma aproximação de 5 casas decimais, usando
(a) Método de trapézio
(b) Método de simpson

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral de 0 a 2 de x e^x usando métodos numéricos (trapézio e Simpson) de forma que o erro seja menor que 10^{-5}. Vamos usar as fórmulas de cota de erro desses métodos, que envolvem derivadas de f(x)=x e^x.

Passo 2

Primeiro, calculamos f’’(x) para aplicar a cota do trapézio. Como f(x)=x e^x, temos f’(x)=e^x(1+x) e f’’(x)=e^x(x+2). Em [0,2], o máximo de |f’’(x)| ocorre em x=2, logo |f’’(x)|≤4e^2.

Passo 3

A cota de erro do trapézio composto é
|ET|<=(b-a)^312n^2max[a,b]|f''(x)| =2^312n^2·4e^2=8e^23n^2
Queremos 8e^2/(3n^2)<=10^-5.

Passo 4

Resolvendo para n:
n^2>=8e^23·10^-5approx1,97times10^6Longrightarrow n>=raiz1,97times10^6approx1403
Portanto, precisaremos de pelo menos 1403 subdivisões.

Passo 5

Agora, para Simpson, precisamos de f^{(4)}(x). Partindo de f’’(x)=e^x(x+2), obtemos f{(3)}(x)=ex(x+3) e f{(4)}(x)=ex(x+4). Em [0,2], |f{(4)}(x)|≤6e2.

Passo 6

A cota de erro de Simpson composto é
|ES|<=(b-a)^5180n^4max[a,b]|f^(4)(x)| =2^5180n^4·6e^2=16e^215n^4
Queremos 16e^2/(15n^4)<=10^-5.

Passo 7

Resolvendo para n:
n^4>=16e^215·10^-5approx7,88times10^5Longrightarrow n>=(7,88times10^5)^1/4approx29.8
Como Simpson exige n par, tomamos n=30.

Resposta

São necessárias 1403 subdivisões para o método do trapézio e 30 subdivisões para o método de Simpson.

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