Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\pi-x & \text { se } & 0<x<\pi \\\\ 0 & \text { se } & x>\pi\end{array}\right., encontre \hat{f}_{s}(w).

Passo 1

O enunciado pede a transformada seno de Fourier de
f(x)= \begin{cases} \pi - x, & 0<x<\pi,\\\\ 0, & x>\pi. \end{cases}
O conteúdo aqui é a transformada seno definida por
\hat f_{s}(\omega) =\int_{0}^{\infty}f(x)\,\sin(\omega x)\,\mathrm{d}x.
Como f(x)=0 para x>\pi, basta calcular
\hat f_{s}(\omega) =\int_{0}^{\pi}(\pi - x)\,\sin(\omega x)\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Para resolver
\int_{0}^{\pi}(\pi - x)\,\sin(\omega x)\,\mathrm{d}x
usamos integração por partes. Escolhemos
u = \pi - x,\quad \mathrm{d}v = \sin(\omega x)\,\mathrm{d}x
então
\mathrm{d}u = -\,\mathrm{d}x,\quad v = -\frac{\cos(\omega x)}{\omega}.
A fórmula de partes diz
\int u\,\mathrm{d}v = u\,v\Big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}v\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Aplicando em
\int_{0}^{\pi}(\pi - x)\sin(\omega x)\,\mathrm{d}x = \Bigl((\pi - x)\,\bigl(-\tfrac{\cos(\omega x)}{\omega}\bigr)\Bigr)\Big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\bigl(-\tfrac{\cos(\omega x)}{\omega}\bigr)\,(-\mathrm{d}x).
Isso simplifica para
-\frac{1}{\omega}\bigl[(\pi - \pi)\cos(\omega\pi)-(\pi - 0)\cos(0)\bigr] -\frac{1}{\omega}\int_{0}^{\pi}\cos(\omega x)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Calculamos cada termo:
  1. O termo de contorno é
-\frac{1}{\omega}[0 - \pi\cdot1] = \frac{\pi}{\omega}.
  1. A integral de \cos(\omega x) é
\int_{0}^{\pi}\cos(\omega x)\,\mathrm{d}x = \frac{\sin(\omega x)}{\omega}\Big|_{0}^{\pi} = \frac{\sin(\omega\pi)-0}{\omega} = \frac{\sin(\omega\pi)}{\omega}.
Logo
-\frac{1}{\omega}\int_{0}^{\pi}\cos(\omega x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{\omega}\,\frac{\sin(\omega\pi)}{\omega} = -\frac{\sin(\omega\pi)}{\omega^{2}}.
Somando os dois resultados vem
\hat f_{s}(\omega) = \frac{\pi}{\omega} - \frac{\sin(\omega\pi)}{\omega^{2}}.

Resposta

\hat f_{s}(\omega) = \frac{\pi}{\omega} - \frac{\sin(\omega\pi)}{\omega^{2}}.

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