Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}1 & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right., encontre a transformada de Fourier de senos f dada pela fórmula
\mathcal{F}_{s}\{f\}(w)=\hat{f}_{s}(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(x) \operatorname{sen} w x d x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de senos de
f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<1,\\\\ 0, & x>1, \end{cases}
usando a fórmula
\mathcal{F}_{s}\{f\}(w)=\hat f_{s}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x)\,\operatorname{sen}(wx)\,dx.
O conteúdo aqui é integral de função descontínua multiplicada por seno.

Passo 2

Como f(x)=0 para x>1, o intervalo de integração efetivo em
\hat f_{s}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x)\,\operatorname{sen}(wx)\,dx
reduz-se a
\hat f_{s}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{1}1\;\operatorname{sen}(wx)\,dx.

Passo 3

Vamos calcular
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(wx)\,dx.
Usamos a primitiva de \operatorname{sen}(wx), que é -\cos(wx)/w.

Passo 4

Avalia-mos a primitiva de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(wx)\,dx =\left[-\frac{\cos(wx)}{w}\right]_{0}^{1} =\frac{-\cos(w)+\cos(0)}{w} =\frac{1-\cos w}{w}.

Passo 5

Substituindo no fator fora da integral, obtemos
\hat f_{s}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\frac{1-\cos w}{w}.

Resposta

\hat f_{s}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\frac{1-\cos w}{w}.

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