Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x}{2} & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 1-\frac{x}{2} & \text { se } & 1<x<2 \\\\ 0 & \text { se } & x>2\end{array}\right., encontre \hat{f}_{c}(w).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier contínua de
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{2},&0<x<1,\\[6pt] 1-\dfrac{x}{2},&1<x<2,\\[4pt] 0,&x>2, \end{cases}
ou seja, queremos \hat f_c(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-j\omega x}\,dx.
Para resolver vamos usar a definição da transformada e quebrar a integral em dois trechos, de 0 a 1 e de 1 a 2.]

Passo 2

Escrevendo a integral em dois pedaços, temos
\hat f_c(\omega) =\int_{0}^{1}\frac{x}{2}\,e^{-j\omega x}\,dx +\int_{1}^{2}\Bigl(1-\frac{x}{2}\Bigr)e^{-j\omega x}\,dx.
Chamemos \displaystyle I_1=\int_{0}^{1}\frac{x}{2}e^{-j\omega x}\,dx
e \displaystyle I_2=\int_{1}^{2}\Bigl(1-\frac{x}{2}\Bigr)e^{-j\omega x}\,dx.

Passo 3

Cálculo de I_1 por partes:
I_1=\frac12\int_{0}^{1}x\,e^{-j\omega x}\,dx \;=\;\frac12\Bigl[ -\frac{x\,e^{-j\omega x}}{j\omega}\Bigr]_0^1 +\frac12\int_{0}^{1}\frac{e^{-j\omega x}}{j\omega}\,dx.
Isso dá
I_1 =\frac12\Bigl[ -\frac{e^{-j\omega}}{j\omega} +\frac{1-e^{-j\omega}}{(j\omega)^2} \Bigr] =\frac12\Bigl[ -\frac{e^{-j\omega}}{j\omega} -\frac{1-e^{-j\omega}}{\omega^2} \Bigr].

Passo 4

Cálculo de I_2. Primeiro separe
I_2 =\int_{1}^{2}e^{-j\omega x}\,dx -\frac12\int_{1}^{2}x\,e^{-j\omega x}\,dx =A-\tfrac12\,B.
Aqui
A=\Bigl[\frac{e^{-j\omega x}}{-j\omega}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{e^{-j\omega}-e^{-j2\omega}}{j\omega},
e por partes
B=\int_{1}^{2}x\,e^{-j\omega x}\,dx =\Bigl[-\frac{x\,e^{-j\omega x}}{j\omega} +\frac{e^{-j\omega x}}{(j\omega)^2}\Bigr]_{1}^{2}.
Fazendo as contas obtém-se
I_2 =\frac{e^{-j\omega}}{2\,j\omega} +\frac{e^{-j\omega}-e^{-j2\omega}}{2\,\omega^2}.

Passo 5

Somando I_1+I_2 e simplificando chegamos a
\hat f_c(\omega) =\frac{-1+2e^{-j\omega}-e^{-j2\omega}}{2\,\omega^2} =\frac{(e^{-j\omega}-1)^2}{2\,\omega^2}.

Resposta

\boxed{\hat f_c(\omega) =\frac{(e^{-j\omega}-1)^2}{2\,\omega^2}.}

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