Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-1 & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 1 & \text { se } & 1<x<2 \\\\ 0 & \text { se } & x>2\end{array}\right., encontre a transformada de Fourier de cossenos de f dada pela fórmula
\mathcal{F}_{c}\{f\}(w)=\hat{f}_{c}(w)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(x) \cos w x d x

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} -1, &0<x<1,\\\ \;1, &1<x<2,\\\ \;0, &x>2, \end{cases}
e pede a transformada de Fourier de cossenos
\hat f_{c}(w) =\mathcal{F}_{c}\{f\}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos(wx)\,dx.
Vamos usar a definição e aproveitar que em (2,\infty) a função é zero para reduzir o domínio da integral.

Passo 2

Separemos a integral nas regiões onde f(x) é diferente de zero:
\int_{0}^{\infty}f(x)\cos(wx)\,dx =\int_{0}^{1}(-1)\cos(wx)\,dx +\int_{1}^{2}(1)\cos(wx)\,dx.

Passo 3

Calculemos
I_1=\int_{0}^{1}\cos(wx)\,dx.
Como
\int\cos(wx)\,dx=\frac{\sin(wx)}{w},
temos
I_1=\Bigl[\frac{\sin(wx)}{w}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\sin(w)}{w}-0 =\frac{\sin w}{w}.
Logo a contribuição de 0<x<1 é -I_1=-\frac{\sin w}{w}.

Passo 4

Agora
I_2=\int_{1}^{2}\cos(wx)\,dx =\Bigl[\frac{\sin(wx)}{w}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{\sin(2w)-\sin(w)}{w}.

Passo 5

Somando as duas partes,
\int_{0}^{\infty}f(x)\cos(wx)\,dx =-\frac{\sin w}{w}+\frac{\sin(2w)-\sin(w)}{w} =\frac{\sin(2w)-2\sin(w)}{w}.
Portanto
\hat f_{c}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, \frac{\sin(2w)-2\sin(w)}{w}.

Resposta

\boxed{ \hat f_{c}(w) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, \frac{\sin(2w)-2\sin(w)}{w} }.

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