Exercício: War método de Gauss para resolver:
\left[\begin{array}{llll:l} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=1,\\\ x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0,\\\ x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0,\\\ x_{3}+2x_{4}=0 \end{cases}
usando o método de eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elemento a elemento para zerar abaixo dos pivôs, depois retornar pela retro-substituição.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada inicial e eliminando o elemento abaixo do pivô 2 na primeira coluna:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right] \quad\longrightarrow\quad R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac12R_{1}
isso dá
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & \tfrac32 & 1 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Agora usamos o pivô \tfrac32 na segunda linha para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2:
R_{3}\leftarrow R_{3}-\frac{1}{(\tfrac32)}\,R_{2}=R_{3}-\tfrac23R_{2}
resultando em
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & \tfrac32 & 1 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & 1 & \tfrac13\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Com o pivô \tfrac{4}{3} na terceira linha, zeramos o elemento abaixo na coluna 3:
R_{4}\leftarrow R_{4}-\frac{1}{(\tfrac{4}{3})}\,R_{3}=R_{4}-\tfrac34R_{3}
e obtemos a forma triangular superior:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & \tfrac32 & 1 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & \tfrac{4}{3} & 1 & \tfrac13\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{5}{4} & -\tfrac14 \end{array}\right].

Passo 5

Agora fazemos a retro-substituição:
  1. Da quarta equação \tfrac{5}{4}x_{4}=-\tfrac14 vem
x_{4}=\frac{-\tfrac14}{\tfrac{5}{4}}=-\tfrac{1}{5}.
  1. Da terceira \tfrac{4}{3}x_{3}+1\cdot x_{4}=\tfrac13 temos
\tfrac{4}{3}x_{3}-\tfrac{1}{5}=\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{4}{3}x_{3}=\tfrac13+\tfrac{1}{5}=\tfrac{8}{15} \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\tfrac{8}{15}\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{2}{5}.
  1. Da segunda \tfrac32x_{2}+x_{3}=-\tfrac12 obtemos
\tfrac32x_{2}+\tfrac{2}{5}=-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac32x_{2}=-\tfrac12-\tfrac{2}{5}=-\tfrac{9}{10} \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-\tfrac{9}{10}\cdot\tfrac{2}{3}=-\tfrac{3}{5}.
  1. Da primeira 2x_{1}+x_{2}=1 segue
2x_{1}-\tfrac{3}{5}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{1}=\tfrac{8}{5} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\tfrac{4}{5}.

Resposta

x_{1}=\tfrac{4}{5},\quad x_{2}=-\tfrac{3}{5},\quad x_{3}=\tfrac{2}{5},\quad x_{4}=-\tfrac{1}{5}.

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