Usando a segunda regra de Simpson(n=1) calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro ( n=6 )
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+2 x+10\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{1}^{7}\bigl(x^{2} + 2x + 10\bigr)\,dx
usando a regra composta de Simpson com n=6 subintervalos, comparar com o valor exato e calcular o erro. O conteúdo envolvido é o uso da fórmula de Simpson composta para integrais e o cálculo direto de primitiva para obter o valor exato.

Passo 2

A regra composta de Simpson para n par de subintervalos e passo h=(b-a)/n é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0) + 4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_i) +2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,n}f(x_i)+f(x_n)\Bigr].í
Aqui a=1, b=7, n=6 e portanto
h = \frac{7-1}{6} = 1.

Passo 3

Construímos a tabela de valores x_i=1+i\,h e f(x_i)=x_i^2+2x_i+10:
\begin{array}{c|ccccccc} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\ f(x_i) & 13 & 18 & 25 & 34 & 45 & 58 & 73 \end{array}

Passo 4

Aplicando Simpson composta:
I_{\text{S}} = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\,(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)) +2\,(f(x_2)+f(x_4))+f(x_6)\Bigr].
Substituindo os valores:
I_{\text{S}} = \frac{1}{3}\bigl[13 +4\,(18+34+58)+2\,(25+45)+73\bigr] = \frac{1}{3}\bigl[13 +4\cdot110 +2\cdot70 +73\bigr] = \frac{1}{3}\cdot 666 = 222.

Passo 5

Para obter o valor exato, calculamos a primitiva
F(x)=\frac{x^3}{3}+x^2+10x
e avaliamos em 1 e 7:
I = F(7)-F(1) = \Bigl(\tfrac{7^3}{3}+7^2+10\cdot7\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1^3}{3}+1^2+10\cdot1\Bigr) = \frac{343}{3}+49+70 -\bigl(\tfrac{1}{3}+1+10\bigr) = \frac{700}{3}-\frac{34}{3} = \frac{666}{3} = 222.

Passo 6

Como tanto a aproximação de Simpson como o valor exato dão 222, o erro é
\text{Erro} = I - I_{\text{S}} = 222 - 222 = 0.

Resposta

Valor aproximado (Simpson, n=6): 222.
Valor exato: 222.
Erro: 0.

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