(1,5) Considere o P.V.I. : \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=2 x-y+2 \\\ y(0)=1,5\end{array} ; \mathrm{x} \in[0 ; 0,5]\right. e 1 subintervalo de h .
Resolva-o pelos Métodos de Euler Modificado e Runge-Kutta de ordem 4.
Qual resultado aproximado para y(0,5) é o melhor? Justifique!

Passo 1

O P.V.I. é
\begin{cases} y' = 2x - y + 2,\\\ y(0)=1,5, \end{cases} \quad x\in[0,0,5],
com um único passo h=0,5. Vamos aproximar y(0,5) pelo Método de Euler Modificado (Heun) e pelo Método de Runge–Kutta de 4ª ordem e, para justificar qual é o melhor, comparar com a solução exata do ODE linear.

Passo 2

Para comparar, achamos a solução exata. A equação é linear da forma y'+y=2x+2. O fator integrante é e^{x}, então
y\,e^{x}=\int e^{x}(2x+2)\,dx + C.
Integramos por partes e obtemos \int e^{x}(2x+2)\,dx=2x e^{x}. Logo
y\,e^{x}=2x e^{x}+C \quad\Longrightarrow\quad y=2x + C\,e^{-x}.
Impondo y(0)=1,5 1,5=C. Assim
y(x)=2x + 1,5\,e^{-x},
e em particular
y(0,5)=1 + 1,5\,e^{-0,5}\approx 1,9098.

Passo 3

Método de Euler Modificado:
Definimos x_{0}=0, y_{0}=1,5, h=0,5.
Calculamos
f_{0}=f(x_{0},y_{0})=2\cdot 0 -1,5+2=0,5,
y_{\text{pred}}=y_{0}+h\,f_{0} =1,5 + 0,5\cdot 0,5=1,75,
f_{1}=f(x_{0}+h,y_{\text{pred}}) =2\cdot 0,5 -1,75+2=1,25,
y_{1}=y_{0}+\frac{h}{2}\bigl(f_{0}+f_{1}\bigr) =1,5 + \frac{0,5}{2}(0,5+1,25) =1,5 +0,25\cdot1,75 =1,9375.

Passo 4

Método de Runge–Kutta 4ª ordem:
k_{1}=f(x_{0},y_{0})=0,5,
k_{2}=f\bigl(x_{0}+\tfrac{h}{2},\,y_{0}+\tfrac{h}{2}k_{1}\bigr) =f(0,25,\,1,625)=0,875,
k_{3}=f\bigl(0,25,\,1,5+0,25\cdot0,875\bigr) =f(0,25,1,71875)=0,78125,
k_{4}=f\bigl(0,5,\,1,5+0,5\cdot0,78125\bigr) =f(0,5,1,890625)=1,109375,
y_{1} =y_{0}+\frac{h}{6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}) =1,5 + \frac{0,5}{6}\bigl(0,5+2\cdot0,875+2\cdot0,78125+1,109375\bigr) =1,91015625.

Passo 5

Comparando com o exato y(0,5)\approx1,9098, os erros são
\bigl|1,9375-1,9098\bigr|\approx0,0277, \quad \bigl|1,91015625-1,9098\bigr|\approx0,00036.
Além disso, Euler Modificado tem erro global O(h^{2}) e RK4 tem erro global O(h^{4}). Portanto o resultado de Runge–Kutta de 4ª ordem é o melhor.

Resposta

O melhor valor aproximado é o de Runge–Kutta de 4ª ordem, y(0,5)\approx1,91015625, pois seu erro é muito menor que o do Euler Modificado.

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