Questão 2 [Usar 5 casas decimais com truncamento nesta questão]. Em matemática, a função erro (também chamada de função erro de Gauss) é uma função especial (não-elementar) que ocorre com frequência em probabilidade e estatística. Ela é definida por:
\operatorname{erf}(b)=\int_{0}^{b} e^{-x^{2}} d x
(a) Se a regra de Simpson \operatorname{com} N=10 para estimar \operatorname{erf}(1).
(b) No intervalo [0,1], se for dado que \left|\frac{d^{4}}{d x^{4}}\left(e^{-x^{2}}\right)\right| \leq 12, dê uma estimativa superior para a magnitude do erro cometido na estimativa encontrada em (a).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\operatorname{erf}(1)=\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx
usando a regra de Simpson com N=10 subintervalos, e depois estimar um limite superior para o erro dado que \bigl|f^{(4)}(x)\bigr|\le12 em [0,1]. Aqui f(x)=e^{-x^{2}} e o passo é
h=\frac{1-0}{10}=0,1.

Passo 2

Calculamos f_i=f(x_i) em x_i=0,0{,}1,0{,}2,\dots,1:
f_0=1,
f_1=e^{-0{,}01}\approx0,9900498337,
f_2=e^{-0{,}04}\approx0,9607894392,
f_3=e^{-0{,}09}\approx0,9139311853,
f_4=e^{-0{,}16}\approx0,8521437889,
f_5=e^{-0{,}25}\approx0,7788007831,
f_6=e^{-0{,}36}\approx0,6976763261,
f_7=e^{-0{,}49}\approx0,6126263942,
f_8=e^{-0{,}64}\approx0,5272924240,
f_9=e^{-0{,}81}\approx0,4448580662,
f_{10}=e^{-1}\approx0,3678794412.

Passo 3

Agora formamos as somas dos nós ímpares e pares:
S_{\mathrm{ímpar}} = f_1+f_3+f_5+f_7+f_9 \approx3,7402662625,í
S_{\mathrm{par}} = f_2+f_4+f_6+f_8 \approx3,0379019782.
A regra de Simpson dá
I_{\text{S}}=\frac{h}{3}\Bigl(f_0+f_{10}+4\,S_{\mathrm{ímpar}}+2\,S_{\mathrm{par}}\Bigr).í

Passo 4

Substituindo os valores:
f_0+f_{10}\approx1,3678794412,\quad 4\,S_{\mathrm{ímpar}}\approx14,9610650500,\quad 2\,S_{\mathrm{par}}\approx6,0758039564,í
\text{logo }I_{\text{S}} =\frac{0,1}{3}\bigl(1,3678794412+14,9610650500+6,0758039564\bigr) \approx0,7468249483.
Truncando a cinco casas decimais, obtém-se
\boxed{0,74682}.

Passo 5

O erro da regra de Simpson satisfaz
\bigl|E_{S}\bigr|\le\frac{b-a}{180}\,h^{4}\max_{[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr| =\frac{1}{180}\,(0,1)^{4}\,(12) =\frac{12\cdot10^{-4}}{180}=6{,}666\ldots\times10^{-6}.
Como cota superior podemos escrever
\boxed{\bigl|E_{S}\bigr|\le6{,}6666\times10^{-6}}.

Resposta

(a) 0,74682
(b) \bigl|E_{S}\bigr|\le6{,}6666\times10^{-6}

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