Questão 2 [Usar 5 casas decimais com truncamento nesta questão]. Em matemática, a função erro (também chamada de função erro de Gauss) é uma função especial (não-elementar) que ocorre com frequência em probabilidade e estatística. Ela é definida por:
\operatorname{erf}(b)=\int_{0}^{b} e^{-x^{2}} d x
(a) Use a regra de Simpson
\operatorname{com} N=10 para estimar
\operatorname{erf}(1).
(b) No intervalo
[0,1], se for dado que
\left|\frac{d^{4}}{d x^{4}}\left(e^{-x^{2}}\right)\right| \leq 12, dê uma estimativa superior para a magnitude do erro cometido na estimativa encontrada em (a).
(a) Para aplicar a regra de Simpson composta para
N=10 subintervalos, veja primeiro que
\Delta x=\frac{b-a}{N}=\frac{1-0}{10}=0.1
Dessa forma, veja que:
x_{i} |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
y_{i} |
1 |
0.9900 |
0.9607 |
0.9139 |
0.8521 |
0.7788 |
0.6976 |
0.6126 |
0.5272 |
0.4448 |
0.3678 |
onde
y_{i}=f\left(x_{i}\right)=e^{-x_{i}^{2}}. Aplicaremos a fórmula da regra de Simpson composta:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \approx \frac{\Delta x}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{10}\right)+4 \sum_{\text {ímpares }} f\left(x_{i}\right)+2 \sum_{\text {pares }} f\left(x_{i}\right)\right]í
Substituindo os valores, obtém-se:
\begin{aligned} \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \approx & \frac{0.1}{3}\left[e^{0}+e^{-1}+4\left(e^{-0.01}+e^{-0.09}+e^{-0.25}+e^{-0.49}+e^{-0.81}\right)\right. \\\ & +2\left(e^{-0.04}+e^{-0.16}+e^{-0.36}+e^{-0.64}\right)\right] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[1+0.3678+4(0.9900+0.9139+0.7788+0.6126+0.4448) \\\ & +2(0.9607+0.8521+0.6976+0.5272)] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[1+0.3678+4(3.7401)+2(3.0376)] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[1+0.3678+14.9604+6.0752] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[22.4034] \\\ \approx & 0.7467 . \end{aligned}
(Obs.: O valor exato com 4 casas decimais é 0.7468 ).
(b) Estimativa do erro: Como sabemos, a estimativa para o erro na regra de Simpson composta é dado por:
\left|E_{S C}\right| \leq \frac{(b-a)^{5}}{180 N^{4}} \max _{a \leq x \leq b}\left|f^{(4)}(x)\right|
Temos então a estimativa superrior para a magnitude do erro cometido:
\left|E_{S C}\right| \leq \frac{(1-0)^{5}}{180 \cdot 10^{4}} \cdot \max _{0 \leq x \leq 1}\left|f^{(4)}(x)\right| \leq \frac{12}{180 \cdot 10^{4}}=6.6666 \times 10^{-6} .