Resolver o sistema linear a seguir usondo escalonamento:
\left\{\begin{aligned} 2 x-y+5 z & =10 z_{1} \\\ x+y-3 z & =-2 z_{2} \\\\ 2 x+4 y+z & =1 z_{3} \end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} 2x - y + 5z = 10\,z_{1},\\\ x + y - 3z = -2\,z_{2},\\\\ 2x +4y + z = 1\,z_{3}. \end{cases}
O conteúdo é escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e trocamos a primeira e a segunda linha para ter pivô 1 no topo:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -3 & -2\,z_{2}\\\\ 2 & -1 & 5 & 10\,z_{1}\\\\ 2 & 4 & 1 & 1\,z_{3} \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
R2 \leftarrow R2 - 2·R1 e
R3 \leftarrow R3 - 2·R1.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -3 & -2\,z_{2}\\[6pt] 0 & -3 & 11 & 10\,z_{1}+4\,z_{2}\\[6pt] 0 & 2 & 7 & z_{3}+4\,z_{2} \end{array}\right].]

Passo 4

Agora eliminamos y na terceira linha usando a segunda:
Multiplicamos a linha 2 por \tfrac{2}{3} e somamos à linha 3:
\text{R3}\;\leftarrow\;\text{R3} \;+\;\tfrac{2}{3}\,\text{R2} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -3 & -2\,z_{2}\\[6pt] 0 & -3 & 11 & 10\,z_{1}+4\,z_{2}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{43}{3} & \tfrac{20\,z_{1}+20\,z_{2}+3\,z_{3}}{3} \end{array}\right].
Da última linha obtemos
\frac{43}{3}\,z \;=\;\frac{20\,z_{1}+20\,z_{2}+3\,z_{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{20\,z_{1}+20\,z_{2}+3\,z_{3}}{43}.]

Passo 5

Substituímos z na segunda linha para achar y. Da linha 2:
-3\,y +11\,z = 10\,z_{1}+4\,z_{2} \;\Longrightarrow\; y = \frac{-10\,z_{1}-4\,z_{2}+11\,z}{3}.
Inserindo z=\frac{20\,z_{1}+20\,z_{2}+3\,z_{3}}{43} resulta
y = \frac{-70\,z_{1}+16\,z_{2}+11\,z_{3}}{43}.

Passo 6

Finalmente substituímos y e z na linha 1 para achar x. Da linha 1:
x + y -3\,z = -2\,z_{2} \;\Longrightarrow\; x = -2\,z_{2}-y+3\,z.
Isso leva a
x = \frac{130\,z_{1}-42\,z_{2}-2\,z_{3}}{43}.

Resposta

x = \frac{130\,z_{1}-42\,z_{2}-2\,z_{3}}{43},\quad y = \frac{-70\,z_{1}+16\,z_{2}+11\,z_{3}}{43},\quad z = \frac{20\,z_{1}+20\,z_{2}+3\,z_{3}}{43}.

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