A intensidade de uma fonte radioativa I(t) é tabelada a seguir, considerando uma variação constante k, definida nas instruções dadas:
t
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
\mathrm{I}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{i}}\right)
4,022
2,696
1,807
1,212
0,812
0,544
0,365
0,245
0,164
0,109
1.1) (2,0) Utilize regressão (ajuste) não linear nos parâmetros, sobre 5 pontos, para determinar b e a, e o ajuste exponencial \mathrm{g}(\mathrm{t})=a e^{b t} e o valor aproximado de \mathrm{I}(0,5). Determine o erro e verifique se o ajuste determinado é confiável para o cálculo de \mathrm{I}(0,5).
1.2) (3,0) Calcule I(0,5) por interpolação quadrática (3 pontos) de Lagrange e de grau 3 (4 pontos) de Newton-Gregory. Determine um limitante para o erro cometido na interpolação de Newton-Gregory considerando \mathbf{I}(\mathrm{t}) aproximada por \mathrm{g}(\mathrm{t}), ou seja, utilize M_{4}=\max _{x \in[0.2,2.0]}\left|g^{(4)}(t)\right|. Dos resultados obtidos em 1.1) e 1.2) qual é o melhor? Justifique sua resposta (pode ser pela análise dos erros).
1.3) (2,0) Utilize as regras do trapézio generalizada e 3 / 8 de Simpson generalizada para calcular aproximadamente o valor de \int_{0,2}^{2,0} I(t) d t. Determine um limitante do erro cometido para a regra 3 / 8 de Simpson, considerando I(t) aproximada por g(t) para o cálculo de I^{(4)}(t). Por que não se poderia utilizar a regra 1 / 3 de Simpson generalizada para determinar o valor dessa integral?
Passo 1
O enunciado fornece valores de I(t) em intervalos de 0{,}2 de t entre 0{,}2 e 2{,}0 e pede em 1.1) ajustar uma curva exponencial
g(t)=a\,e^{b\,t}
usando regressão não linear (que se faz linearizando \ln I versus t) sobre 5 pontos, obter a e b, depois estimar I(0,5) e verificar o erro desse ajuste.
Passo 2
Linearizamos tomando y=\ln I, de modo que
\ln g(t)=\ln a + b\,t.
Usamos os cinco primeiros pontos (t_i,I_i) para calcular as somas necessárias ao método dos mínimos quadrados. Obtém-se
b \;=\;\frac{\sum (t_i-\bar t)(\ln I_i-\overline{\ln I})}{\sum (t_i-\bar t)^2}\approx -2{,}00,
\ln a \;=\;\overline{\ln I}-b\,\bar t\approx 1{,}792 \quad\Longrightarrow\quad a = e^{1{,}792}\approx 6{,}00.
Para interpolação de Newton–Gregory de grau 3 usamos os quatro pontos em t=0{,}2,0{,}4,0{,}6,0{,}8. Com passo h=0{,}2 definimos u=(t-0,2)/0,2 e computamos diferenças finitas:
Comparando erros em t=0{,}5:
– Ajuste exponencial: \approx0{,}044.
– Lagrange quadrático: |2{,}214-2{,}207|\approx0{,}007.
– Newton–Gregory cúbico: |2{,}206-2{,}207|\approx0{,}001 e limite \approx0{,}0024.
O melhor é o polinômio de grau 3 de Newton–Gregory por ter erro menor.
Passo 8
Para a regra do trapézio compostas com n=9 subintervalos (h=0{,}2):
T = h\Bigl(\tfrac{I_0+I_9}{2} + \sum_{i=1}^{8}I_i\Bigr) =0{,}2\Bigl(\tfrac{4{,}022+0{,}109}{2}+7{,}845\Bigr)\approx1{,}9821.
Passo 9
Para a regra composta 3/8 de Simpson dividimos em três grupos de 3 subintervalos. A cada grupo aplicamos