A intensidade de uma fonte radioativa I(t) é tabelada a seguir, considerando uma variação constante k, definida nas instruções dadas:
t 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
\mathrm{I}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{i}}\right) 4,022 2,696 1,807 1,212 0,812 0,544 0,365 0,245 0,164 0,109
1.1) (2,0) Utilize regressão (ajuste) não linear nos parâmetros, sobre 5 pontos, para determinar b e a, e o ajuste exponencial \mathrm{g}(\mathrm{t})=a e^{b t} e o valor aproximado de \mathrm{I}(0,5). Determine o erro e verifique se o ajuste determinado é confiável para o cálculo de \mathrm{I}(0,5).
1.2) (3,0) Calcule I(0,5) por interpolação quadrática (3 pontos) de Lagrange e de grau 3 (4 pontos) de Newton-Gregory. Determine um limitante para o erro cometido na interpolação de Newton-Gregory considerando \mathbf{I}(\mathrm{t}) aproximada por \mathrm{g}(\mathrm{t}), ou seja, utilize M_{4}=\max _{x \in[0.2,2.0]}\left|g^{(4)}(t)\right|. Dos resultados obtidos em 1.1) e 1.2) qual é o melhor? Justifique sua resposta (pode ser pela análise dos erros).
1.3) (2,0) Utilize as regras do trapézio generalizada e 3 / 8 de Simpson generalizada para calcular aproximadamente o valor de \int_{0,2}^{2,0} I(t) d t. Determine um limitante do erro cometido para a regra 3 / 8 de Simpson, considerando I(t) aproximada por g(t) para o cálculo de I^{(4)}(t). Por que não se poderia utilizar a regra 1 / 3 de Simpson generalizada para determinar o valor dessa integral?

Passo 1

O enunciado fornece valores de I(t) em intervalos de 0{,}2 de t entre 0{,}2 e 2{,}0 e pede em 1.1) ajustar uma curva exponencial
g(t)=a\,e^{b\,t}
usando regressão não linear (que se faz linearizando \ln I versus t) sobre 5 pontos, obter a e b, depois estimar I(0,5) e verificar o erro desse ajuste.

Passo 2

Linearizamos tomando y=\ln I, de modo que
\ln g(t)=\ln a + b\,t.
Usamos os cinco primeiros pontos (t_i,I_i) para calcular as somas necessárias ao método dos mínimos quadrados. Obtém-se
b \;=\;\frac{\sum (t_i-\bar t)(\ln I_i-\overline{\ln I})}{\sum (t_i-\bar t)^2}\approx -2{,}00,
\ln a \;=\;\overline{\ln I}-b\,\bar t\approx 1{,}792 \quad\Longrightarrow\quad a = e^{1{,}792}\approx 6{,}00.
Logo o modelo ajustado é
g(t)=6{,}00\,e^{-2{,}00\,t}.

Passo 3

Estimamos
g(0,5)=6\,e^{-2\cdot0,5}=6\,e^{-1}\approx 2{,}207.
Para avaliar o erro, interpolamos linearmente entre I(0,4)=2{,}696 e I(0,6)=1{,}807, obtendo
I_{\rm interp}(0,5)\approx 2{,}696 + \frac{1{,}807-2{,}696}{0{,}2}\cdot0{,}1 \approx 2{,}251,
logo o ajuste dá erro aproximado
\bigl|2{,}207-2{,}251\bigr|\approx 0{,}044\quad(\approx2\%),
o que já indica que o modelo exponencial é razoavelmente confiável para t=0{,}5.

Passo 4

Para interpolação quadrática de Lagrange em t=0{,}5 tomamos os pontos t=0{,}4,0{,}6,0{,}8 com I=2{,}696,1{,}807,1{,}212. O polinômio é
P_2(0,5)\;=\;\sum_{j=0}^2 I_{j}\,\ell_j(0,5),
onde, por exemplo,
\ell_0(0,5) =\frac{(0,5-0,6)(0,5-0,8)}{(0,4-0,6)(0,4-0,8)}
e similar para \ell_1,\ell_2. Calculando dá
P_2(0,5)\approx 2{,}214.

Passo 5

Para interpolação de Newton–Gregory de grau 3 usamos os quatro pontos em t=0{,}2,0{,}4,0{,}6,0{,}8. Com passo h=0{,}2 definimos u=(t-0,2)/0,2 e computamos diferenças finitas:
\Delta f_0=-1{,}326,\;\Delta^2f_0=0{,}437,\;\Delta^3f_0=-0{,}143.
O polinômio de grau 3 avaliado em u=1{,}5
P_3(0,5)=f_0 + u\,\Delta f_0 + \frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2f_0 +\frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3f_0\approx 2{,}206.

Passo 6

Para Newton–Gregory, o resto tem a forma
R_4(0,5)=\frac{I^{(4)}(\xi)}{4!}\,(0,5-0,2)(0,5-0,4)(0,5-0,6)(0,5-0,8).
Como I(t)\approx g(t)=6e^{-2t} temos
g^{(4)}(t)=6(-2)^4 e^{-2t}=96\,e^{-2t},
então em [0,2]
M_4=\max|g^{(4)}(t)|=96\,e^{-0,4}\approx64{,}35.
Logo
|R_4|\le \frac{64{,}35}{24}\,(0{,}3\cdot0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}3)\approx0{,}0024.

Passo 7

Comparando erros em t=0{,}5:
– Ajuste exponencial: \approx0{,}044.
– Lagrange quadrático: |2{,}214-2{,}207|\approx0{,}007.
– Newton–Gregory cúbico: |2{,}206-2{,}207|\approx0{,}001 e limite \approx0{,}0024.
O melhor é o polinômio de grau 3 de Newton–Gregory por ter erro menor.

Passo 8

Para a regra do trapézio compostas com n=9 subintervalos ( h=0{,}2):
T = h\Bigl(\tfrac{I_0+I_9}{2} + \sum_{i=1}^{8}I_i\Bigr) =0{,}2\Bigl(\tfrac{4{,}022+0{,}109}{2}+7{,}845\Bigr)\approx1{,}9821.

Passo 9

Para a regra composta 3/8 de Simpson dividimos em três grupos de 3 subintervalos. A cada grupo aplicamos
\int_{x_0}^{x_3} f= \frac{3h}{8}\bigl(f_0+3f_1+3f_2+f_3\bigr).
Calculando todos os grupos dá
S_{3/8}\approx1{,}9567.

Passo 10

O erro composto de 3/8 de Simpson satisfaz
|E|\le\frac{b-a}{80}\,h^4\,M_4 =\frac{1{,}8}{80}\,(0{,}2)^4\,(64{,}35)\approx0{,}0023.

Passo 11

Não se pode usar a regra composta 1/3 de Simpson porque ela exige número de subintervalos n par, e aqui n=9 é ímpar.

Resposta

1.1) a\approx6{,}00, b\approx-2{,}00, g(t)=6e^{-2t}, g(0{,}5)\approx2{,}207, erro ≈0,044.
1.2) Lagrange quadrático P_2(0{,}5)\approx2{,}214; Newton–Gregory cúbico P_3(0{,}5)\approx2{,}206 com erro limitado ≈0,0024. Melhor: Newton–Gregory cúbico.
1.3) Trapézio composto ≈1,9821; Simpson 3/8 composto ≈1,9567 com erro ≤0,0023. Simpson 1/3 não serve pois n não é par.

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