Questão 2 [Usar 5 casas decimais com truncamento nesta questão]. Em matemática, a função erro (também chamada de função erro de Gauss) é uma função especial (não-elementar) que ocorre com frequência em probabilidade e estatística. Ela é definida por:
\operatorname{erf}(b)=\int_{0}^{b} e^{-x^{2}} d x
(a) Use a regra de Simpson \operatorname{com} N=10 para estimar \operatorname{erf}(1).
(b) No intervalo [0,1], se for dado que \left|\frac{d^{4}}{d x^{4}}\left(e^{-x^{2}}\right)\right| \leq 12, dê uma estimativa superior para a magnitude do erro cometido na estimativa encontrada em (a).
(a) Para aplicar a regra de Simpson composta para N=10 subintervalos, veja primeiro que
\Delta x=\frac{b-a}{N}=\frac{1-0}{10}=0.1
Dessa forma, veja que:
x_{i} 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
y_{i} 1 0.9900 0.9607 0.9139 0.8521 0.7788 0.6976 0.6126 0.5272 0.4448 0.3678
onde y_{i}=f\left(x_{i}\right)=e^{-x_{i}^{2}}. Aplicaremos a fórmula da regra de Simpson composta:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \approx \frac{\Delta x}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{10}\right)+4 \sum_{\text {ímpares }} f\left(x_{i}\right)+2 \sum_{\text {pares }} f\left(x_{i}\right)\right]í
Substituindo os valores, obtém-se:
\begin{aligned} \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \approx & \frac{0.1}{3}\left[e^{0}+e^{-1}+4\left(e^{-0.01}+e^{-0.09}+e^{-0.25}+e^{-0.49}+e^{-0.81}\right)\right. \\\ & +2\left(e^{-0.04}+e^{-0.16}+e^{-0.36}+e^{-0.64}\right)\right] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[1+0.3678+4(0.9900+0.9139+0.7788+0.6126+0.4448) \\\ & +2(0.9607+0.8521+0.6976+0.5272)] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[1+0.3678+4(3.7401)+2(3.0376)] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[1+0.3678+14.9604+6.0752] \\\ \approx & \frac{0.1}{3}[22.4034] \\\ \approx & 0.7467 . \end{aligned}
(Obs.: O valor exato com 4 casas decimais é 0.7468 ).
(b) Estimativa do erro: Como sabemos, a estimativa para o erro na regra de Simpson composta é dado por:
\left|E_{S C}\right| \leq \frac{(b-a)^{5}}{180 N^{4}} \max _{a \leq x \leq b}\left|f^{(4)}(x)\right|
Temos então a estimativa superrior para a magnitude do erro cometido:
\left|E_{S C}\right| \leq \frac{(1-0)^{5}}{180 \cdot 10^{4}} \cdot \max _{0 \leq x \leq 1}\left|f^{(4)}(x)\right| \leq \frac{12}{180 \cdot 10^{4}}=6.6666 \times 10^{-6} .

Passo 1

O enunciado pede para estimar
\operatorname{erf}(1)=\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx
usando a regra composta de Simpson com N=10 subintervalos e truncamento a 5 casas decimais, e depois obter um limite superior para o erro, sabendo que
\max_{0\le x\le1}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|\le12
Aqui o conteúdo é método numérico de integração e estimativa de erro em regra de Simpson.

Passo 2

Calculamos o tamanho do passo
\Delta x=\frac{1-0}{10}=0,1
e os nós x_i=0,0{,}1,0{,}2,\dots,1. Em cada nó avaliamos
y_i=f(x_i)=e^{-x_i^2}
truncando a 5 casas decimais:
\begin{aligned} y_0&=e^{0}=1,00000,\\\ y_1&=e^{-0,01}=0,99004,\\\ y_2&=e^{-0,04}=0,96078,\\\ y_3&=e^{-0,09}=0,91393,\\\ y_4&=e^{-0,16}=0,85214,\\\ y_5&=e^{-0,25}=0,77880,\\\ y_6&=e^{-0,36}=0,69767,\\\ y_7&=e^{-0,49}=0,61262,\\\ y_8&=e^{-0,64}=0,52729,\\\ y_9&=e^{-0,81}=0,44485,\\\ y_{10}&=e^{-1}=0,36787. \end{aligned}

Passo 3

A regra composta de Simpson é
\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx\approx \frac{\Delta x}{3}\Bigl[y_0+y_{10} +4\sum_{i\text{ ímpar}}y_i +2\sum_{i\text{ par},\,i\ne0,10}y_i\Bigr].í
Calculamos as somas (todos truncados a 5 casas):
\sum_{i\,\text{ímpar}}y_i =0{,}99004+0{,}91393+0{,}77880+0{,}61262+0{,}44485 =3{,}74024,í
\sum_{i\,\text{par},\,i\ne0,10}y_i =0{,}96078+0{,}85214+0{,}69767+0{,}52729 =3{,}03788.
Logo
\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx \approx \frac{0,1}{3}\Bigl[1{,}00000+0{,}36787 +4(3{,}74024)+2(3{,}03788)\Bigr] =\frac{0,1}{3}(22{,}40459) =0{,}7468197\ldots

Passo 4

Truncando o resultado a 5 casas decimais, obtemos
\operatorname{erf}(1)\approx 0,74681.

Passo 5

O erro na regra de Simpson composta satisfaz
\bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{(b-a)^{5}}{180\,N^{4}}\, \max_{a\le x\le b}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Aqui b-a=1, N=10 e \max|f^{(4)}|\le12, então
\bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{1^{5}}{180\cdot10^{4}}\cdot12 =\frac{12}{180\cdot10000} =6,6666\times10^{-6}.

Resposta

(a) 0,74681
(b) 6,6666\times10^{-6}

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