Questão 2 [Usar 5 casas decimais com truncamento nesta questão]. Em matemática, a função erro (também chamada de função erro de Gauss) é uma função especial (não-elementar) que ocorre com frequência em probabilidade e estatística. Ela é definida por:
\operatorname{erf}(b)=\int_{0}^{b} e^{-x^{2}} d x
(a) Use a regra de Simpson \operatorname{com} N=10 para estimar \operatorname{erf}(1).
(b) No intervalo [0,1], se for dado que \left|\frac{d^{4}}{d x^{4}}\left(e^{-x^{2}}\right)\right| \leq 12, dê uma estimativa superior para a magnitude do erro cometido na estimativa encontrada em (a).
(a) Para aplicar a regra de Simpson composta para N=10 subintervalos, veja primeiro que
\Delta x=\frac{b-a}{N}=\frac{1-0}{10}=0.1
Dessa forma, veja que:
x_{i}
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
y_{i}
1
0.9900
0.9607
0.9139
0.8521
0.7788
0.6976
0.6126
0.5272
0.4448
0.3678
onde y_{i}=f\left(x_{i}\right)=e^{-x_{i}^{2}}. Aplicaremos a fórmula da regra de Simpson composta:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \approx \frac{\Delta x}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{10}\right)+4 \sum_{\text {ímpares }} f\left(x_{i}\right)+2 \sum_{\text {pares }} f\left(x_{i}\right)\right]í
(Obs.: O valor exato com 4 casas decimais é 0.7468 ).
(b) Estimativa do erro: Como sabemos, a estimativa para o erro na regra de Simpson composta é dado por: