Considere a matriz A do exercício anterior.
Sabendo que os autovalores de A são 5.31, 7.84 e 21.84, calcule kappa2(A).

Passo 1

Beleza, aqui o lance é o seguinte: temos uma matriz (do exercício anterior), cujos autovalores você já sabe — são , e . A matéria envolve o conceito de número de condição na norma 2, . Para resolver, vamos precisar:
  1. lembrar o que é a norma 2 de uma matriz;
  2. entender como o número de condição em 2-norma se relaciona com autovalores (no caso de matrizes simétricas ou definidas positivas, em que os autovalores são positivos e as normas de singular são exatamente esses autovalores).

Passo 2

Teoria rápida:
  • A norma 2 de kappa2(A) ;=; |A|2,|A^-1|2 ;=;sigmamax(A)sigmamin(A) é sigmamax(A) = lambdamax(A), sigmamin(A) = lambdamin(A) , o maior valor singular de .
  • A norma 2 de é .
  • O número de condição em 2-norma é
Se é simétrica definida positiva, seus valores singulares são iguais aos seus autovalores (todos positivos). Logo

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: os autovalores dados são
lambda1,lambda2,lambda3 = 5.31,;7.84,;21.84
Então
lambdamin(A) = 5.31, lambdamax(A) = 21.84

Passo 4

Substituindo na fórmula de kappa2(A) = lambdamax(A)lambdamin(A) = 21.845.31 :

Resposta

boxedkappa2(A) approx 21.845.31 approx 4.11

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