Considere a matriz
do exercício anterior.
Sabendo que os autovalores de
são 5.31, 7.84 e 21.84, calcule
.
Sabendo que os autovalores de
Passo 1
Beleza, aqui o lance é o seguinte: temos uma matriz
(do exercício anterior), cujos autovalores você já sabe — são
,
e
. A matéria envolve o conceito de número de condição na norma 2,
. Para resolver, vamos precisar:
- lembrar o que é a norma 2 de uma matriz;
- entender como o número de condição em 2-norma se relaciona com autovalores (no caso de matrizes simétricas ou definidas positivas, em que os autovalores são positivos e as normas de singular são exatamente esses autovalores).
Passo 2
Teoria rápida:
- A norma 2 de
é , o maior valor singular de . - A norma 2 de
é . - O número de condição em 2-norma é
Se
é simétrica definida positiva, seus valores singulares são iguais aos seus autovalores (todos positivos). Logo
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: os autovalores dados são
Então
Passo 4
Substituindo na fórmula de
: