Considere a matriz A e o vetor b abaixo:
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\\\ 4 & 7 & 3 \\\\ 6 & 18 & 5 \end{array}\right] \\\ b=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \end{gathered}
Aplique o método da eliminação de Gauss para calcular a solução do sistema linear A x=b. Argumente quem são as matrizes L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior tal que A=L U. Utilize a decomposição LU para calcular a inversa de A.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Resolver o sistema A x = b por eliminação de Gauss.
  2. Identificar as matrizes L (triangular inferior com diagonal unitária) e U (triangular superior) de modo que A=LU.
  3. Usar essa decomposição para calcular A^{-1}.
    Os conteúdos envolvidos são eliminação de Gauss, decomposição LU, substituições direta e reversa e computação da inversa resolvendo A X = I.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss ao sistema aumentado [\;A\mid b\;]. Inicialmente
\bigl[\, \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 0\\\\ 4 & 7 & 3 & 0\\\\ 6 &18 & 5 & 1 \end{array} \,\bigr].
Pivot em a_{11}=2:
multiplicadores m_{21}=4/2=2, m_{31}=6/2=3.
Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2 e 3 vezes da linha 3, obtemos
\bigl[\, \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 9 & 2 & 1 \end{array} \,\bigr].
Agora pivot em a_{22}=1:
multiplicador m_{32}=9/1=9.
Subtraindo 9 vezes a linha 2 da linha 3, fica
\bigl[\, \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -7 & 1 \end{array} \,\bigr].
Fazendo substituição reversa:
\displaystyle x_3 = \frac{1}{-7} = -\tfrac{1}{7},
\displaystyle x_2 + x_3 = 0 \implies x_2 = \tfrac{1}{7},
\displaystyle 2x_1 +3x_2 + x_3 =0\implies 2x_1 +\tfrac{3-1}{7}=0\implies x_1=-\tfrac{1}{7}.

Passo 3

Os multiplicadores usados formam diretamente L e o resultado final da eliminação é U. Assim
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -7 \end{pmatrix},
e de fato A = L\,U.

Passo 4

Para achar A^{-1} resolvemos A X = I coluna a coluna, isto é, para cada unidade canônica e_i resolvemos
L\,y = e_i, \quad U\,x = y.
Fazendo isso para i=1,2,3 obtemos as colunas de A^{-1}:
primeira coluna ( e_1) \bigl(y=(1,-2,15)\bigr)
\displaystyle x=\bigl(\tfrac{19}{14},\tfrac{1}{7},-\tfrac{15}{7}\bigr);
segunda coluna ( e_2) \bigl(y=(0,1,-9)\bigr)
\displaystyle x=\bigl(-\tfrac{3}{14},-\tfrac{2}{7},\tfrac{9}{7}\bigr);
terceira coluna ( e_3) \bigl(y=(0,0,1)\bigr)
\displaystyle x=\bigl(-\tfrac{1}{7},\tfrac{1}{7},-\tfrac{1}{7}\bigr).

Resposta

Solução do sistema:
x = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7}\\[4pt]\tfrac{1}{7}\\[4pt]-\tfrac{1}{7}\end{pmatrix}.
Decomposição LU:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 9 & 1 \end{pmatrix}, \quad U=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}.
Inversa de A:
A^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{19}{14} & -\frac{3}{14} & -\frac{1}{7}\\[4pt] \frac{1}{7} & -\frac{2}{7} & \frac{1}{7}\\[4pt] -\frac{15}{7} & \frac{9}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix}.]

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