Aplique o método da eliminação de Gauss para calcular a solução do sistema linear A x=b. Argumente quem são as matrizes L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior tal que A=L U. Utilize a decomposição LU para calcular a inversa de A.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Resolver o sistema A x = b por eliminação de Gauss.
Identificar as matrizes L (triangular inferior com diagonal unitária) e U (triangular superior) de modo que A=LU.
Usar essa decomposição para calcular A^{-1}.
Os conteúdos envolvidos são eliminação de Gauss, decomposição LU, substituições direta e reversa e computação da inversa resolvendo A X = I.
Passo 2
Aplicamos eliminação de Gauss ao sistema aumentado [\;A\mid b\;]. Inicialmente
Para achar A^{-1} resolvemos A X = I coluna a coluna, isto é, para cada unidade canônica e_i resolvemos
L\,y = e_i, \quad U\,x = y.
Fazendo isso para i=1,2,3 obtemos as colunas de A^{-1}:
primeira coluna (e_1) \bigl(y=(1,-2,15)\bigr) dá \displaystyle x=\bigl(\tfrac{19}{14},\tfrac{1}{7},-\tfrac{15}{7}\bigr);
segunda coluna (e_2) \bigl(y=(0,1,-9)\bigr) dá \displaystyle x=\bigl(-\tfrac{3}{14},-\tfrac{2}{7},\tfrac{9}{7}\bigr);
terceira coluna (e_3) \bigl(y=(0,0,1)\bigr) dá \displaystyle x=\bigl(-\tfrac{1}{7},\tfrac{1}{7},-\tfrac{1}{7}\bigr).
Resposta
Solução do sistema:
x = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7}\\[4pt]\tfrac{1}{7}\\[4pt]-\tfrac{1}{7}\end{pmatrix}.