Resolva o sistema linear
\left\{\begin{array}{rl} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =10 \\\ x_{1}+10 x_{2}+x_{3} & =12 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3} & =11 \end{array},\right.
utilizando o método de Jacobi e o Método de Gauss-Seidel, tendo como condição inicial o vetor nulo. Considere como critério de parada a norma infinito da diferença entre aproximações, que deverá ser menor que 10^{-2}. Argumente a respeito da garantia de convergência dos métodos.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 10x_{1}+x_{2}-x_{3}=10,\\\ x_{1}+10x_{2}+x_{3}=12,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+10x_{3}=11, \end{cases}
queremos resolver por iterações de Jacobi e de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0) e critério de parada
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-2}.
O conteúdo é de métodos iterativos para sistemas lineares e usaremos, além das fórmulas de iteração, a garantia de convergência via dominância diagonal.

Passo 2

Verificamos a dominância diagonal de A. As linhas de A são
(10,1,-1),\;(1,10,1),\;(2,-1,10).
Em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos demais módulos:
10>1+1=2,\quad10>1+1=2,\quad10>2+1=3.
Como A é estritamente diagonal dominante por linhas, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução exata.

Passo 3

Derivamos as fórmulas de iteração de Jacobi escrevendo cada incógnita isolada em sua própria equação:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{10 - x_{2}^{(k)} + x_{3}^{(k)}}{10} =1 - \frac{x_{2}^{(k)}}{10} + \frac{x_{3}^{(k)}}{10},
x_{2}^{(k+1)}=\frac{12 - x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{10} =1{,}2 - \frac{x_{1}^{(k)}}{10} - \frac{x_{3}^{(k)}}{10},
x_{3}^{(k+1)}=\frac{11 - 2x_{1}^{(k)} + x_{2}^{(k)}}{10} =1{,}1 - \frac{2\,x_{1}^{(k)}}{10} + \frac{x_{2}^{(k)}}{10}.

Passo 4

Aplicando a iteração de Jacobi até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-2}:
x^{(0)}=(0,0,0)
x^{(1)}=(1{,}0\,;\,1{,}2\,;\,1{,}1), \|\Delta\|_{\infty}=1{,}2
x^{(2)}=(0{,}99\,;\,0{,}99\,;\,1{,}02), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}21
x^{(3)}=(1{,}003\,;\,0{,}999\,;\,1{,}001), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}019
x^{(4)}=(1{,}0002\,;\,0{,}9996\,;\,0{,}9993), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}0028<10^{-2}.
Logo a aproximação de Jacobi em k=4 é
x^{(4)}\approx(1{,}0002,\;0{,}9996,\;0{,}9993).

Passo 5

Para Gauss–Seidel usamos a mesma isolação mas atualizamos imediatamente a cada componente:
x_{1}^{(k+1)}=1 - \frac{x_{2}^{(k)}}{10} + \frac{x_{3}^{(k)}}{10},
x_{2}^{(k+1)}=1{,}2 - \frac{x_{1}^{(k+1)}}{10} - \frac{x_{3}^{(k)}}{10},
x_{3}^{(k+1)}=1{,}1 - \frac{2\,x_{1}^{(k+1)}}{10} + \frac{x_{2}^{(k+1)}}{10}.

Passo 6

Iterando até o mesmo critério:
x^{(0)}=(0,0,0)
x^{(1)}=(1{,}0\,;\,1{,}1\,;\,1{,}01), \|\Delta\|_{\infty}=1{,}1
x^{(2)}=(0{,}991\,;\,0{,}9999\,;\,1{,}0018), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}1001
x^{(3)}=(1{,}00019\,;\,0{,}99980\,;\,0{,}99994), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}00919<10^{-2}.
Assim, Gauss–Seidel em k=3
x^{(3)}\approx(1{,}00019,\;0{,}99980,\;0{,}99994).

Passo 7

Como A é estritamente diagonal dominante, ambos os métodos convergem. Observamos que Gauss–Seidel atingiu o critério em 3 iterações, enquanto Jacobi precisou de 4, mostrando a vantagem prática da atualização imediata.

Resposta

Jacobi: x\approx(1{,}0002,\;0{,}9996,\;0{,}9993) em 4 iterações.
Gauss–Seidel: x\approx(1{,}00019,\;0{,}99980,\;0{,}99994) em 3 iterações.
Garantia de convergência: matriz A é estritamente diagonal dominante por linhas.

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