utilizando o método de Jacobi e o Método de Gauss-Seidel, tendo como condição inicial o vetor nulo. Considere como critério de parada a norma infinito da diferença entre aproximações, que deverá ser menor que 10^{-2}. Argumente a respeito da garantia de convergência dos métodos.
queremos resolver por iterações de Jacobi e de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0) e critério de parada
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-2}.
O conteúdo é de métodos iterativos para sistemas lineares e usaremos, além das fórmulas de iteração, a garantia de convergência via dominância diagonal.
Passo 2
Verificamos a dominância diagonal de A. As linhas de A são
(10,1,-1),\;(1,10,1),\;(2,-1,10).
Em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos demais módulos:
10>1+1=2,\quad10>1+1=2,\quad10>2+1=3.
Como A é estritamente diagonal dominante por linhas, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução exata.
Passo 3
Derivamos as fórmulas de iteração de Jacobi escrevendo cada incógnita isolada em sua própria equação:
Aplicando a iteração de Jacobi até \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<10^{-2}: x^{(0)}=(0,0,0) x^{(1)}=(1{,}0\,;\,1{,}2\,;\,1{,}1), \|\Delta\|_{\infty}=1{,}2 x^{(2)}=(0{,}99\,;\,0{,}99\,;\,1{,}02), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}21 x^{(3)}=(1{,}003\,;\,0{,}999\,;\,1{,}001), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}019 x^{(4)}=(1{,}0002\,;\,0{,}9996\,;\,0{,}9993), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}0028<10^{-2}.
Logo a aproximação de Jacobi em k=4 é
x^{(4)}\approx(1{,}0002,\;0{,}9996,\;0{,}9993).
Passo 5
Para Gauss–Seidel usamos a mesma isolação mas atualizamos imediatamente a cada componente:
Iterando até o mesmo critério: x^{(0)}=(0,0,0) x^{(1)}=(1{,}0\,;\,1{,}1\,;\,1{,}01), \|\Delta\|_{\infty}=1{,}1 x^{(2)}=(0{,}991\,;\,0{,}9999\,;\,1{,}0018), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}1001 x^{(3)}=(1{,}00019\,;\,0{,}99980\,;\,0{,}99994), \|\Delta\|_{\infty}=0{,}00919<10^{-2}.
Assim, Gauss–Seidel em k=3 dá
Como A é estritamente diagonal dominante, ambos os métodos convergem. Observamos que Gauss–Seidel atingiu o critério em 3 iterações, enquanto Jacobi precisou de 4, mostrando a vantagem prática da atualização imediata.
Resposta
Jacobi: x\approx(1{,}0002,\;0{,}9996,\;0{,}9993) em 4 iterações.
Gauss–Seidel: x\approx(1{,}00019,\;0{,}99980,\;0{,}99994) em 3 iterações.
Garantia de convergência: matriz A é estritamente diagonal dominante por linhas.