e pede para reordená-lo de modo a garantir convergência nos métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel.
O critério suficiente que vamos usar é o de dominância diagonal estrita: para cada linha i do sistema, deve valer
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Passo 2
Verifiquemos que na forma original nenhuma linha satisfaz dominância diagonal estrita:
– Linha 1: |4|\stackrel{?}{>}|1|+|6|=7 (falso).
– Linha 2: |-1|\stackrel{?}{>}|4|+|2|=6 (falso, e o pivô ali nem é -1, mas sim |4|).
– Linha 3: |3|\stackrel{?}{>}|{-1}|+|5|=6 (falso).
Logo, é preciso permutar colunas (isto é, renomear as incógnitas) para posicionar coeficientes maiores nas diagonais.
Passo 3
Procuramos uma permutação das colunas de modo que, na nova ordem de incógnitas (y_{1},y_{2},y_{3}), o coeficiente a_{ii} passe a ser o maior em cada linha.
Testando as várias permutações, vemos que a escolha
y_{1}=x_{3},\quad y_{2}=x_{1},\quad y_{3}=x_{2}
coloca na diagonal os valores (6,4,5), que são estritamente maiores que as somas dos demais elementos em cada linha.
Passo 4
Substituindo x_{1}=y_{2}, x_{2}=y_{3}, x_{3}=y_{1} em cada equação, obtemos
Linha 1: |6|>|4|+|1|=5.
Linha 2: |4|>|2|+|{-1}|=3.
Linha 3: |5|>|3|+|{-1}|=4.
Todas satisfeitas, então o sistema reordenado converge sob Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel.