Reordene o sistema linear de forma a garantirmos convergência para os métodos de Gauss-Jacobi e GaussSeidel.
\left\{\begin{array}{ccc} 4 x_{1}+1 x_{2}+6 x_{3} & = & 1 \\\\ 4 x_{1}-1 x_{2}+2 x_{3} & = & 2 \\\\ -1 x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3} & = & 3 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 4x_{1}+1x_{2}+6x_{3}=1,\\\\ 4x_{1}-1x_{2}+2x_{3}=2,\\\\ -1x_{1}+5x_{2}+3x_{3}=3, \end{cases}
e pede para reordená-lo de modo a garantir convergência nos métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel.
O critério suficiente que vamos usar é o de dominância diagonal estrita: para cada linha i do sistema, deve valer
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.

Passo 2

Verifiquemos que na forma original nenhuma linha satisfaz dominância diagonal estrita:
– Linha 1: |4|\stackrel{?}{>}|1|+|6|=7 (falso).
– Linha 2: |-1|\stackrel{?}{>}|4|+|2|=6 (falso, e o pivô ali nem é -1, mas sim |4|).
– Linha 3: |3|\stackrel{?}{>}|{-1}|+|5|=6 (falso).
Logo, é preciso permutar colunas (isto é, renomear as incógnitas) para posicionar coeficientes maiores nas diagonais.

Passo 3

Procuramos uma permutação das colunas de modo que, na nova ordem de incógnitas (y_{1},y_{2},y_{3}), o coeficiente a_{ii} passe a ser o maior em cada linha.
Testando as várias permutações, vemos que a escolha
y_{1}=x_{3},\quad y_{2}=x_{1},\quad y_{3}=x_{2}
coloca na diagonal os valores (6,4,5), que são estritamente maiores que as somas dos demais elementos em cada linha.

Passo 4

Substituindo x_{1}=y_{2}, x_{2}=y_{3}, x_{3}=y_{1} em cada equação, obtemos
\begin{cases} 6\,y_{1}+4\,y_{2}+1\,y_{3}=1,\\\\ 2\,y_{1}+4\,y_{2}-1\,y_{3}=2,\\\\ 3\,y_{1}-1\,y_{2}+5\,y_{3}=3. \end{cases}

Passo 5

Verifiquemos a dominância diagonal estrita na nova matriz de coeficientes
\begin{pmatrix} 6 & 4 & 1\\\\ 2 & 4 & -1\\\\ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Linha 1: |6|>|4|+|1|=5.
Linha 2: |4|>|2|+|{-1}|=3.
Linha 3: |5|>|3|+|{-1}|=4.
Todas satisfeitas, então o sistema reordenado converge sob Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel.

Resposta

\begin{cases} 6\,y_{1}+4\,y_{2}+y_{3}=1,\\\\ 2\,y_{1}+4\,y_{2}-y_{3}=2,\\\\ 3\,y_{1}-y_{2}+5\,y_{3}=3, \end{cases} \quad\text{onde }y_{1}=x_{3},\;y_{2}=x_{1},\;y_{3}=x_{2}.

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