Considere os números X=2^700, Y=11^200 e Z=5^300. Assinale a alternativa correta:

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Considere os números , e . Assinale a alternativa correta.”
Conteúdo: comparação de potências gigantes usando logaritmos. Vamos precisar de duas ideias principais:
  1. Propriedade dos logaritmos que transforma potências em produtos: .
  2. Que a função logaritmo é crescente, ou seja, se então .

Passo 2

Primeiro, por que usar logaritmos?
  • Esses números são enormes, então a gente não vai calcular log10(X) = log10l(2^700r) = 700 cdot log10(2), de verdade.
  • Mas podemos calcular , e .
  • Como é crescente, o maior log significa o maior número original.
    De forma geral:
e o mesmo vale para e .

Passo 3

Vamos buscar as aproximações comuns de logaritmos na base 10:
log10(X) = 700 times 0,3010 = 210,7, ,
log10(Y) = 200 times 1,0414 = 208,28, ,
log10(Z) = 300 times 0,6990 = 209,7 .
Agora:

Passo 4

Como é o maior, segue que é o maior número.
Depois vem , então é o segundo.
Por fim, o menor log é , logo é o menor.

Resposta

.

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