Mostre que o polinômio que interpola os dados a seguir tem graus três.
X
-2
-1
0
1
2
3
1
4
11
16
13
-4
X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
1 | 4 | 11 | 16 | 13 | -4 |
Passo 1
O enunciado dá seis pontos
com
e
e pede para mostrar que o polinômio interpolador tem grau três.
Conteúdo: uso de diferenças finitas para determinar o grau de um polinômio.
Conteúdo: uso de diferenças finitas para determinar o grau de um polinômio.
Passo 2
Montamos a tabela de diferenças finitas usando o método das diferenças progressivas. Em cada coluna da tabela, calculamos a diferença entre o valor atual e o anterior:
Aqui cada entrada de
é, por exemplo,
, cada entrada de
é, por exemplo,
para a linha anterior, e assim por diante.
Passo 3
Observamos na tabela que:
- As terceiras diferenças
são todas iguais a (constantes). - As quartas diferenças
são todas zero.
Pelo teorema das diferenças finitas, se as diferenças de ordem
são nulas, o polinômio que interpola os dados é de grau no máximo
. Além disso, se as diferenças de ordem
são constantes (não nulas), o grau é exatamente
.
Passo 4
Como
é constante e não-nulo, o grau do polinômio é exatamente três. A nulidade de
confirma que não há termos de grau superior a três.
Resposta
O polinômio interpolador dos dados tem grau três.