Mostre que o polinômio que interpola os dados a seguir tem graus três.
X -2 -1 0 1 2 3
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 1 4 11 16 13 -4

Passo 1

O enunciado dá seis pontos \bigl(x,f(x)\bigr) com
x = -2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3
e
f(x)=1,\,4,\,11,\,16,\,13,\,-4
e pede para mostrar que o polinômio interpolador tem grau três.
Conteúdo: uso de diferenças finitas para determinar o grau de um polinômio.

Passo 2

Montamos a tabela de diferenças finitas usando o método das diferenças progressivas. Em cada coluna da tabela, calculamos a diferença entre o valor atual e o anterior:
\begin{array}{c|cccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\ \hline f(x) & 1 & 4 & 11 & 16 & 13 & -4 \\\ \Delta f & 3 & 7 & 5 & -3 & -17 & {} \\\ \Delta^2 f & 4 & -2 & -8 & -14 & {} & {} \\\ \Delta^3 f & -6 & -6 & -6 & {} & {} & {} \\\ \Delta^4 f & 0 & 0 & {} & {} & {} & {} \end{array}
Aqui cada entrada de \Delta f é, por exemplo, 4-1=3, cada entrada de \Delta^2 f é, por exemplo, -2-4=-6 para a linha anterior, e assim por diante.

Passo 3

Observamos na tabela que:
  1. As terceiras diferenças \Delta^3 f são todas iguais a -6 (constantes).
  2. As quartas diferenças \Delta^4 f são todas zero.
Pelo teorema das diferenças finitas, se as diferenças de ordem k+1 são nulas, o polinômio que interpola os dados é de grau no máximo k. Além disso, se as diferenças de ordem k são constantes (não nulas), o grau é exatamente k.

Passo 4

Como \Delta^3 f é constante e não-nulo, o grau do polinômio é exatamente três. A nulidade de \Delta^4 f confirma que não há termos de grau superior a três.

Resposta

O polinômio interpolador dos dados tem grau três.

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