Construa uma tabela para a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} usando os pontos: 0.8 ; 0.9 ; 1.0; 1.1; 1.2; 1.3 suando 3 casas decimais.
a) Obtenha um polinômio do 2^{\circ} grau usando a forma de Lagrange e estime o valor de \cos 1.07.
b) Obtenha um polinômio do 2^{\circ} grau usando a forma de Newton e estime o valor de \cos 1.07.
c) Calcule o valor exato de cos 1.07 , com 3 casas decimais e diga qual é o método que produz a melhor solução. Porque?

Passo 1

O enunciado pede para construir uma tabela de valores de \cos x em seis pontos e, em seguida, obter um polinômio de grau 2 por Lagrange (item a) e outro por Newton (item b) para estimar \cos1,07. Por fim (item c), devemos calcular o valor “exato” de \cos1,07 com três casas decimais e comparar os resultados. O conteúdo é interpolação polinomial e tabelas de diferença dividida.

Passo 2

Construindo a tabela de \cos x arredondado a três casas decimais:
x\quad f(x)=\cos x
0,8\;\to\;0,697
0,9\;\to\;0,622
1,0\;\to\;0,540
1,1\;\to\;0,454
1,2\;\to\;0,362
1,3\;\to\;0,267

Passo 3

Como queremos estimar em x=1,07, escolhemos os três pontos mais próximos:
x_0=0,9,\;f_0=0,622;\quad x_1=1,0,\;f_1=0,540;\quad x_2=1,1,\;f_2=0,454.

Passo 4

Polinômio de Lagrange de grau 2:
L_2(x)=\sum_{i=0}^{2}f_i\,\ell_i(x),
com
\ell_0(x)=\frac{(x-1,0)(x-1,1)}{(0,9-1,0)(0,9-1,1)}=\frac{(x-1,0)(x-1,1)}{0,02},
\ell_1(x)=\frac{(x-0,9)(x-1,1)}{(1,0-0,9)(1,0-1,1)}=-\frac{(x-0,9)(x-1,1)}{0,01},
\ell_2(x)=\frac{(x-0,9)(x-1,0)}{(1,1-0,9)(1,1-1,0)}=\frac{(x-0,9)(x-1,0)}{0,02}.
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L_2(1,07)=0,622\,\ell_0(1,07)+0,540\,\ell_1(1,07)+0,454\,\ell_2(1,07)\approx0,4802.

Passo 5

Polinômio de Newton de grau 2 usando diferenças divididas:
a_0=0,622,\quad a_1=\frac{0,540-0,622}{1,0-0,9}=-0,82,\quad a_2=\frac{\,-0,86-(-0,82)\,}{1,1-0,9}=-0,20.
Então
N_2(x)=0,622-0,82\,(x-0,9)-0,20\,(x-0,9)(x-1,0),
e
N_2(1,07)\approx0,622-0,82\cdot0,17-0,20\cdot(0,17\cdot0,07)\approx0,4802.

Passo 6

Cálculo “exato” de \cos1,07 (calculadora ou série) arredondado a três casas decimais:
\cos1,07\approx0,480.
As estimativas de Lagrange e Newton deram ambas 0,4802, que arredondam para 0,480. Como os dois métodos geram o mesmo polinômio interpolador, produzem exatamente a mesma estimação.

Resposta

(a) Pelo método de Lagrange:
L_2(x)=0,622\,\frac{(x-1,0)(x-1,1)}{0,02}-0,540\,\frac{(x-0,9)(x-1,1)}{0,01}+0,454\,\frac{(x-0,9)(x-1,0)}{0,02},
\cos1,07\approx0,4802.
(b) Pelo método de Newton:
N_2(x)=0,622-0,82\,(x-0,9)-0,20\,(x-0,9)(x-1,0),
\cos1,07\approx0,4802.
(c) Valor exato arredondado: \cos1,07\approx0,480. Ambos os métodos produzem a mesma solução, pois geram o mesmo polinômio interpolador de grau 2.

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