Construa uma tabela para a função
usando os pontos:
; 1.1; 1.2; 1.3 suando 3 casas decimais.
a) Obtenha um polinômio do
grau usando a forma de Lagrange e estime o valor de
.
b) Obtenha um polinômio do
grau usando a forma de Newton e estime o valor de
.
c) Calcule o valor exato de cos 1.07 , com 3 casas decimais e diga qual é o método que produz a melhor solução. Porque?
a) Obtenha um polinômio do
b) Obtenha um polinômio do
c) Calcule o valor exato de cos 1.07 , com 3 casas decimais e diga qual é o método que produz a melhor solução. Porque?
Passo 1
O enunciado pede para construir uma tabela de valores de
em seis pontos e, em seguida, obter um polinômio de grau 2 por Lagrange (item a) e outro por Newton (item b) para estimar
. Por fim (item c), devemos calcular o valor “exato” de
com três casas decimais e comparar os resultados. O conteúdo é interpolação polinomial e tabelas de diferença dividida.
Passo 2
Construindo a tabela de
arredondado a três casas decimais:
Passo 3
Como queremos estimar em
, escolhemos os três pontos mais próximos:
Passo 4
Polinômio de Lagrange de grau 2:
com
Logo
Passo 5
Polinômio de Newton de grau 2 usando diferenças divididas:
Então
e
Passo 6
Cálculo “exato” de
(calculadora ou série) arredondado a três casas decimais:
As estimativas de Lagrange e Newton deram ambas
, que arredondam para
. Como os dois métodos geram o mesmo polinômio interpolador, produzem exatamente a mesma estimação.
Resposta
(a) Pelo método de Lagrange:
(b) Pelo método de Newton:
(c) Valor exato arredondado: