3-
Considere um polinômio
f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}
no qual a_{n} \neq 0. A partir deste polinômio e de um número \alpha, construiu-se o seguinte dispositivo de cálculo:
a_{n} a_{n-1} \cdots a_{2} a_{1} a_{0}
\alpha b_{n} b_{n-1} \cdots b_{2} b 1 b_{0}
\alpha c_{n} c_{n-1} \cdots c_{2} c_{1} -
\alpha d_{n} d_{n-1} \cdots d_{2} - -
no qual os elementos da segunda linha são da forma b_{n}=a_{n}, b_{n-k}=\alpha b_{n-k+1}+a_{n-k}, k=1,2, \ldots, n, e os elementos das demais linhas são determinados de modo semelhante.
Nesse caso, é correto afirmar que b_{0}=f(\alpha), c_{1}=f^{\prime}(\alpha), d_{2}=\frac{f^{\prime \prime}(\alpha)}{2}, etc.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado apresenta o método de Horner generalizado para avaliar um polinômio
f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n},\quad a_{n}\neq0,
e calcular suas derivadas em x=\alpha usando tabelas de coeficientes (b_k), (c_k), (d_k), … obtidas recursivamente por
b_n=a_n,\quad b_{n-k}=\alpha\,b_{n-k+1}+a_{n-k},\;k=1,\dots,n,
e definições análogas para c_k a partir de b_k, para d_k a partir de c_k, etc. A afirmação a provar é que
b_{0}=f(\alpha),\quad c_{1}=f'(\alpha),\quad d_{2}=\tfrac{f''(\alpha)}{2},\;\dots

Passo 2

Mostramos primeiro que b_{0}=f(\alpha). Na forma de Horner temos
f(x)=\bigl(\cdots\bigl(a_n x+a_{n-1}\bigr)x+\cdots +a_1\bigr)x+a_0.
O algoritmo dos b_k replica exatamente essa estrutura:
b_n=a_n,\;b_{n-1}=\alpha b_n+a_{n-1},\;\dots,\;b_0=\alpha b_1+a_0,
logo b_0=f(\alpha).

Passo 3

Para a primeira derivada, escrevemos em Horner
f(x)=((\dots(a_n x+a_{n-1})x+\cdots +a_1)x)+a_0
e derivamos formalmente, obtendo outra expressão em Horner para f'(x). O algoritmo dos c_k aplicado aos coeficientes b_k fornece exatamente essa sequência de somas, de modo que
c_1=f'(\alpha).

Passo 4

Analogamente, para a segunda derivada derivamos novamente a expressão de f'(x) em Horner. O terceiro nível de tabela, com coeficientes d_k, produz a fórmula para f''(\alpha) dividida por 2!. Em particular
d_2=\frac{f''(\alpha)}{2}.

Passo 5

Como os mesmos argumentos valem para níveis superiores, concluímos que cada tabela de coeficientes de ordem m produz \tfrac{f^{(m)}(\alpha)}{m!} no seu índice correspondente. Portanto, a afirmação do enunciado é correta.

Resposta

Verdadeiro

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