3-
Considere um polinômio
no qual
. A partir deste polinômio e de um número
, construiu-se o seguinte dispositivo de cálculo:
-
-
-
no qual os elementos da segunda linha são da forma
,
, e os elementos das demais linhas são determinados de modo semelhante.
Nesse caso, é correto afirmar que
,
, etc.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Considere um polinômio
no qual
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
- | - |
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado apresenta o método de Horner generalizado para avaliar um polinômio
e calcular suas derivadas em
usando tabelas de coeficientes
,
,
, … obtidas recursivamente por
e definições análogas para
a partir de
, para
a partir de
, etc. A afirmação a provar é que
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Na forma de Horner temos
O algoritmo dos
replica exatamente essa estrutura:
logo
.
Passo 3
Para a primeira derivada, escrevemos em Horner
e derivamos formalmente, obtendo outra expressão em Horner para
. O algoritmo dos
aplicado aos coeficientes
fornece exatamente essa sequência de somas, de modo que
Passo 4
Analogamente, para a segunda derivada derivamos novamente a expressão de
em Horner. O terceiro nível de tabela, com coeficientes
, produz a fórmula para
dividida por
. Em particular
Passo 5
Como os mesmos argumentos valem para níveis superiores, concluímos que cada tabela de coeficientes de ordem
produz
no seu índice correspondente. Portanto, a afirmação do enunciado é correta.
Resposta
Verdadeiro