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Determine todas as raízes da equação x^{3}-12.64566 x^{2}+50.93801 x-65.24446=0, com pelo menos 3 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva.
Primeira raiz positiva \square
Segunda raiz positiva \square
Terceira raiz \square

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as raízes da equação
x^{3}-12.64566\,x^{2}+50.93801\,x-65.24446=0
com pelo menos três casas decimais exatas. O conteúdo envolve métodos numéricos para encontrar raízes (p. ex. bisseção) e depois fatoração (divisão sintética) seguida de resolução de uma equação quadrática.

Passo 2

Para achar a primeira raiz positiva, observamos que
f(2)=2^{3}-12.64566\cdot2^{2}+50.93801\cdot2-65.24446\approx -5{,}95
e
f(3)=3^{3}-12.64566\cdot3^{2}+50.93801\cdot3-65.24446\approx +0{,}76.
Como há mudança de sinal em [2,3], aplicamos bisseção até obter três casas decimais estáveis, encontrando
\text{primeira raiz positiva }x_{1}\approx2{,}750.

Passo 3

Agora dividimos sinteticamente o polinômio original por \,(x-2{,}750). Usando coeficientes
1,\;-12.64566,\;50.93801,\;-65.24446
e o valor 2{,}750, obtemos o polinômio de grau 2
x^{2}-9.89566\,x+23.72445\approx0.

Passo 4

Para resolver
x^{2}-9.89566\,x+23.72445=0
aplicamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante dá
\Delta=9.89566^{2}-4\cdot23.72445\approx3{,}029 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\Delta}\approx1{,}740.
Logo as raízes são
x_{2}=\frac{9.89566+1.740}{2}\approx4{,}078, \quad x_{3}=\frac{9.89566-1.740}{2}\approx5{,}818.

Resposta

Primeira raiz positiva 2{,}750
Segunda raiz positiva 4{,}078
Terceira raiz 5{,}818

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