5-
Determine todas as raízes da equação
x^{3}-1.404047 x^{2}-15.174159 x+29.625154
=0,
com pelo menos 4 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva.
Primeira raiz positiva \square
Segunda raiz positiva \square
Terceira raiz \square

Passo 1

O enunciado pede todas as raízes da equação
x^{3}-1{,}404047\,x^{2}-15{,}174159\,x+29{,}625154=0
com pelo menos quatro casas decimais exatas, começando pela primeira raiz positiva. Vamos usar a mudança de sinal de f(x) para localizar intervalos com raízes (teorema do valor intermediário) e, em seguida, refinar cada raiz por bisseção e/ou método de Newton.

Passo 2

Buscamos a primeira raiz positiva. Calculamos f(2,2)\approx0{,}094>0 e f(2,25)\approx-0{,}235<0, logo há uma raiz em [2,2;2,25]. Aplicando bisseção e refinando por Newton chegamos a
x_{1}\approx2{,}2144.

Passo 3

Para a segunda raiz positiva notamos f(3)\approx-1{,}53<0 e f(4)\approx10{,}46>0, isto é, existe raiz em [3;4]. Repetindo bisseção e Newton, obtemos
x_{2}\approx3{,}2768.

Passo 4

Para a raiz negativa verificamos f(-4)\approx3{,}86>0 e f(-5)\approx-54{,}61<0, logo tem raiz em [-5;-4]. Após refinamento obtemos
x_{3}\approx-4{,}0838.

Resposta

Primeira raiz positiva: 2,2144
Segunda raiz positiva: 3,2768
Terceira raiz: -4,0838

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