Problema 16. Se z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{2021} são raízes do polinômio P(z)=z^{2021}+z-1. Calcule o valor de \left(\frac{z_{1}^{3}}{z_{1}+1}\right)+\left(\frac{z_{2}^{3}}{z_{2}+1}\right)+\left(\frac{z_{3}^{3}}{z_{3}+1}\right)+\cdots+\left(\frac{z_{2021}^{3}}{z_{2021}+1}\right).

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema dá e o que pede.
  • Dado: o polinômio P(z)=z^{2021}+z-1 e suas raízes \,z_{1},z_{2},\dots,z_{2021}.
  • Pedido: calcular
S=\sum_{k=1}^{2021}\frac{z_k^{3}}{z_k+1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O polinômio é monico (coeficiente líder igual a 1) e de grau 2021.
  • As raízes z_k são todas as raízes complexas (possivelmente complexas) de P.
  • Deve-se somar \dfrac{z_k^3}{z_k+1} para cada uma das 2021 raízes.

Passo 2

Fazer uma identidade algébrica para simplificar a fração \dfrac{z^{3}}{z+1}. Isso é útil porque então transformamos a soma em partes mais fáceis (polinomiais e somas de recíprocos).
Observe a divisão (ou fatoração)
z^{3}+1=(z+1)(z^{2}-z+1).
Logo
z^{3}=(z+1)(z^{2}-z+1)-1.
Dividindo por z+1 (para z\neq -1; mais adiante verificaremos que z=-1 não é raiz de P), obtemos a identidade
\frac{z^{3}}{z+1}=z^{2}-z+1-\frac{1}{z+1}.

Passo 3

Aplicar essa identidade para cada raiz z_k e somar. Assim
S=\sum_{k=1}^{2021}\left(z_k^{2}-z_k+1-\frac{1}{z_k+1}\right).
Separando somas:
S=\left(\sum_{k=1}^{2021}z_k^{2}\right)-\left(\sum_{k=1}^{2021}z_k\right)+\underbrace{\sum_{k=1}^{2021}1}_{=2021}-\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1}.
Portanto
S=\left(\sum_{k=1}^{2021}z_k^{2}\right)-\left(\sum_{k=1}^{2021}z_k\right)+2021-\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1}.

Passo 4

Calcular \sum z_k e \sum z_k^{2} usando as relações de Viète (soma das raízes e somas simétricas) para o polinômio P(z)=z^{2021}+z-1.
Para um polinômio monico de grau n,
P(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0
os somatórios elementares e_k (soma de produtos de k raízes) satisfazem
(-1)^k e_k = a_{n-k}.
No nosso caso n=2021 e os coeficientes são:
  • a_{2020}=0,
  • a_{2019}=0,
  • \ldots,
  • a_1=1,
  • a_0=-1.
Logo, para k=1 (soma das raízes)
(-1)^1 e_1 = a_{2020}=0 \quad\Rightarrow\quad e_1=\sum_{k=1}^{2021} z_k = 0.
Para k=2:
(-1)^2 e_2 = a_{2019}=0 \quad\Rightarrow\quad e_2=\sum_{i<j} z_i z_j = 0.
Na verdade e_k=0 para k=1,2,\dots,2019. Também vale
e_{2020}=1,\qquad e_{2021}=1,
obtidos a partir dos coeficientes a_1=1 e a_0=-1 conforme a fórmula acima.
Agora a soma dos quadrados \sum z_k^{2} pode ser expressa em termos de e_1 e e_2:
\sum_{k=1}^{2021} z_k^{2} = \left(\sum_{k=1}^{2021} z_k\right)^{2} - 2\sum_{i<j} z_i z_j = e_1^{2}-2e_2.
Como e_1=0 e e_2=0, obtemos
\sum_{k=1}^{2021} z_k = 0,\qquad \sum_{k=1}^{2021} z_k^{2}=0.

Passo 5

Substituindo essas somas na expressão obtida no Passo 3:
S = 0 - 0 + 2021 - \sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1} = 2021 - \sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1}.
Portanto falta calcular
T:=\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1}.

Passo 6

Usar a identidade que relaciona P'(x)/P(x) com as raízes. Se
P(x)=\prod_{k=1}^{2021}(x-z_k),
então tomando logaritmo e diferenciando,
\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{x-z_k}.
Essa igualdade é muito prática: substituindo x=-1 obtemos
\frac{P'(-1)}{P(-1)}=\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{-1-z_k} = -\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1}.
Assim
\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1} = -\frac{P'(-1)}{P(-1)}.
Antes de usar essa fórmula, verificar que P(-1)\neq 0 (ou seja, -1 não é raiz). Calcular:
P(-1)=(-1)^{2021}+(-1)-1 = -1-1-1=-3\neq 0.
Portanto a fórmula é válida.

Passo 7

Calcular P'(-1) e P(-1). Derivando P,
P'(z)=2021\,z^{2020}+1.
Então
P'(-1)=2021\cdot(-1)^{2020}+1=2021\cdot 1 + 1 = 2022.
E já calculamos P(-1)=-3. Assim
\sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1} = -\frac{2022}{-3} = \frac{2022}{3} = 674.

Passo 8

Retornando para S:
S = 2021 - \sum_{k=1}^{2021}\frac{1}{z_k+1} = 2021 - 674 = 1347.

Resposta

1347

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