Problema 16. Se z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{2021} são raízes do polinômio P(z)=z^{2021}+z-1. Calcule o valor de \left(\frac{z_{1}^{3}}{z_{1}+1}\right)+\left(\frac{z_{2}^{3}}{z_{2}+1}\right)+\left(\frac{z_{3}^{3}}{z_{3}+1}\right)+\cdots+\left(\frac{z_{2021}^{3}}{z_{2021}+1}\right).
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema dá e o que pede.
Dado: o polinômio P(z)=z^{2021}+z-1 e suas raízes \,z_{1},z_{2},\dots,z_{2021}.
Pedido: calcular
S=\sum_{k=1}^{2021}\frac{z_k^{3}}{z_k+1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O polinômio é monico (coeficiente líder igual a 1) e de grau 2021.
As raízes z_k são todas as raízes complexas (possivelmente complexas) de P.
Deve-se somar \dfrac{z_k^3}{z_k+1} para cada uma das 2021 raízes.
Passo 2
Fazer uma identidade algébrica para simplificar a fração \dfrac{z^{3}}{z+1}. Isso é útil porque então transformamos a soma em partes mais fáceis (polinomiais e somas de recíprocos).
Observe a divisão (ou fatoração)
z^{3}+1=(z+1)(z^{2}-z+1).
Logo
z^{3}=(z+1)(z^{2}-z+1)-1.
Dividindo por z+1 (para z\neq -1; mais adiante verificaremos que z=-1 não é raiz de P), obtemos a identidade
\frac{z^{3}}{z+1}=z^{2}-z+1-\frac{1}{z+1}.
Passo 3
Aplicar essa identidade para cada raiz z_k e somar. Assim