Considere os pontos igualmente espaçados x_{i}, i=0,1, \ldots, 4, x_{i}=x_{0}+i h, i=0,1, \ldots, 4. As diferenças divididas de primeira ordem de uma função f(x) sobre estes pontos, dadas por: f\left[x_{0}, x_{1}\right]=\beta, f\left[x_{1}, x_{2}\right]=\beta+2 h, f\left[x_{2}, x_{3}\right]=\beta+4 h e f\left[x_{3}, x_{4}\right]=\beta+6 h, sendo \beta \neq 0. Qual o grau do polinômio interpolador? Por quê ?

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos igualmente espaçados \,x_i = x_0 + i\,h,\\ i=0,1,2,3,4,
e as diferenças divididas de primeira ordem
f[x_0,x_1]=\beta,\quad f[x_1,x_2]=\beta+2h,\quad f[x_2,x_3]=\beta+4h,\quad f[x_3,x_4]=\beta+6h,
com \beta\neq0.
O objetivo é achar o grau do polinômio que interpola esses cinco pontos. Para isso vamos usar a relação entre o grau do polinômio interpolador e a ordem das diferenças divididas não nulas.

Passo 2

Calculemos as diferenças divididas de segunda ordem, por exemplo
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{(\beta+2h)-\beta}{2h} =\frac{2h}{2h}=1.
De modo análogo,
f[x_1,x_2,x_3] =\frac{(\beta+4h)-(\beta+2h)}{2h} =1, \quad f[x_2,x_3,x_4] =\frac{(\beta+6h)-(\beta+4h)}{2h} =1.
Ou seja, todas as diferenças divididas de segunda ordem são constantes iguais a 1.

Passo 3

Como as diferenças divididas de segunda ordem são constantes não nulas e as de terceira ordem serão
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] =\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]-f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]}{x_{i+3}-x_i} =\frac{1-1}{3h}=0,
vemos que a primeira ordem em que a diferença dividida é zero é a terceira. Por teoria de interpolação, isso implica que o polinômio interpolador tem grau igual a 2 (o grau é a ordem da última diferença dividida não nula).

Resposta

O polinômio interpolador é de grau 2, pois as diferenças divididas de segunda ordem são constantes não nulas e as de terceira ordem são zero.

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