Considere os pontos igualmente espaçados
,
. As diferenças divididas de primeira ordem de uma função
sobre estes pontos, dadas por:
e
, sendo
. Qual o grau do polinômio interpolador? Por quê ?
Passo 1
O enunciado dá cinco pontos igualmente espaçados
,
e as diferenças divididas de primeira ordem
e as diferenças divididas de primeira ordem
com
.
O objetivo é achar o grau do polinômio que interpola esses cinco pontos. Para isso vamos usar a relação entre o grau do polinômio interpolador e a ordem das diferenças divididas não nulas.
O objetivo é achar o grau do polinômio que interpola esses cinco pontos. Para isso vamos usar a relação entre o grau do polinômio interpolador e a ordem das diferenças divididas não nulas.
Passo 2
Calculemos as diferenças divididas de segunda ordem, por exemplo
De modo análogo,
Ou seja, todas as diferenças divididas de segunda ordem são constantes iguais a 1.
Passo 3
Como as diferenças divididas de segunda ordem são constantes não nulas e as de terceira ordem serão
vemos que a primeira ordem em que a diferença dividida é zero é a terceira. Por teoria de interpolação, isso implica que o polinômio interpolador tem grau igual a 2 (o grau é a ordem da última diferença dividida não nula).
Resposta
O polinômio interpolador é de grau 2, pois as diferenças divididas de segunda ordem são constantes não nulas e as de terceira ordem são zero.