Suspeita-se que a tabela
x -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.00
f(x) -9.0 0.0 1.0 0.0 3.0 16.0
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.

Passo 1

O enunciado fornece valores de f(x) em x=-3,-2,-1,0,1,2 e suspeita que esses pontos pertençam a um polinômio de grau 3. Para testar isso usamos o método das diferenças finitas: em um polinômio de grau n, a n-ésima diferença finita é constante.

Passo 2

Calculamos as diferenças de primeira ordem \Delta f(x_i)=f(x_{i+1})-f(x_i). Assim, \Delta f(-3)=0-(-9)=9, \Delta f(-2)=1-0=1, \Delta f(-1)=0-1=-1, \Delta f(0)=3-0=3, \Delta f(1)=16-3=13.

Passo 3

Calculamos as diferenças de segunda ordem \Delta^2 f(x_i)=\Delta f(x_{i+1})-\Delta f(x_i). Assim, \Delta^2 f(-3)=1-9=-8, \Delta^2 f(-2)=-1-1=-2, \Delta^2 f(-1)=3-(-1)=4, \Delta^2 f(0)=13-3=10.

Passo 4

Calculamos as diferenças de terceira ordem \Delta^3 f(x_i)=\Delta^2 f(x_{i+1})-\Delta^2 f(x_i). Assim, \Delta^3 f(-3)=-2-(-8)=6, \Delta^3 f(-2)=4-(-2)=6, \Delta^3 f(-1)=10-4=6.

Passo 5

Observamos que todas as terceiras diferenças são iguais a 6, logo são constantes. Isso confirma que f é um polinômio de grau 3.

Resposta

Basta calcular as diferenças finitas até a terceira ordem e verificar que \Delta^3 f é constante. Como \Delta^3 f=6 em todos os casos, os pontos realmente vêm de um polinômio cúbico.

Exercícios relacionados