As densidades \rho da água para várias temperaturas T são dadas na tabela a seguir.
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
\rho(T) 0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcule \rho(17) e \rho(28) usando polinômios de grau 2 e 3. Trabalhe com 6 casas decimais.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com as densidades \rho(T) da água em diferentes temperaturas e pede para estimar \rho(17) e \rho(28) usando interpolação polinomial de grau 2 e grau 3. Vamos usar o polinômio de Lagrange, que constrói um interpolador baseado em nós \bigl(x_i,\rho_i\bigr).

Passo 2

Estimativa de \rho(17) por polinômio de grau 2 usando os nós mais próximos T=10,15,20 com \rho(10)=0.9997, \rho(15)=0.9991, \rho(20)=0.9982.
L_0(x)=\frac{(x-15)(x-20)}{(10-15)(10-20)},\quad L_1(x)=\frac{(x-10)(x-20)}{(15-10)(15-20)},\quad L_2(x)=\frac{(x-10)(x-15)}{(20-10)(20-15)}.
Avaliação em x=17:
L_0(17)=-0.12,\quad L_1(17)=0.84,\quad L_2(17)=0.28,
\rho_{2}(17)=0.9997\,(L_0(17))+0.9991\,(L_1(17))+0.9982\,(L_2(17)) =0.9997(-0.12)+0.9991(0.84)+0.9982(0.28)=0.998776.

Passo 3

Estimativa de \rho(17) por polinômio de grau 3 usando os nós T=10,15,20,25 com \rho(25)=0.9971.
L_0(x)=\frac{(x-15)(x-20)(x-25)}{(10-15)(10-20)(10-25)},\; L_1(x)=\frac{(x-10)(x-20)(x-25)}{(15-10)(15-20)(15-25)},
L_2(x)=\frac{(x-10)(x-15)(x-25)}{(20-10)(20-15)(20-25)},\; L_3(x)=\frac{(x-10)(x-15)(x-20)}{(25-10)(25-15)(25-20)}.
Avaliação em x=17:
L_0(17)=-0.064,\;L_1(17)=0.672,\;L_2(17)=0.448,\;L_3(17)=-0.056,
\rho_{3}(17)=0.9997(-0.064)+0.9991(0.672)+0.9982(0.448)+0.9971(-0.056) =0.9987704\approx0.998770.

Passo 4

Estimativa de \rho(28) por polinômio de grau 2 usando os nós T=25,30,35 com \rho(25)=0.9971, \rho(30)=0.9957, \rho(35)=0.9941.
L_0(x)=\frac{(x-30)(x-35)}{(25-30)(25-35)},\quad L_1(x)=\frac{(x-25)(x-35)}{(30-25)(30-35)},\quad L_2(x)=\frac{(x-25)(x-30)}{(35-25)(35-30)}.
Avaliação em x=28:
L_0(28)=0.28,\;L_1(28)=0.84,\;L_2(28)=-0.12,
\rho_{2}(28)=0.9971(0.28)+0.9957(0.84)+0.9941(-0.12) =0.996284.

Passo 5

Estimativa de \rho(28) por polinômio de grau 3 usando os nós T=20,25,30,35 com \rho(20)=0.9982.
L_0(x)=\frac{(x-25)(x-30)(x-35)}{(20-25)(20-30)(20-35)},\; L_1(x)=\frac{(x-20)(x-30)(x-35)}{(25-20)(25-30)(25-35)},
L_2(x)=\frac{(x-20)(x-25)(x-35)}{(30-20)(30-25)(30-35)},\; L_3(x)=\frac{(x-20)(x-25)(x-30)}{(35-20)(35-25)(35-30)}.
Avaliação em x=28:
L_0(28)=-0.056,\;L_1(28)=0.448,\;L_2(28)=0.672,\;L_3(28)=-0.064,
\rho_{3}(28)=0.9982(-0.056)+0.9971(0.448)+0.9957(0.672)+0.9941(-0.064) =0.9961296\approx0.996130.

Resposta

\rho_{2}(17)=0.998776 \rho_{3}(17)=0.998770 \rho_{2}(28)=0.996284 \rho_{3}(28)=0.996130

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