(2 ptos) Pretende-se calcular o volume de um edificio cilindrico de raio R=350 \pm 0.00001 \mathrm{~m} e altura h=50 \pm 0.0001 \mathrm{~m}. Usando 3.1416 para o valor aproximado de \pi. Qual sería o máximo erro absoluto do volume do edificio?

Passo 1

O enunciado nos dá um edifício cilíndrico de raio R=350\pm0{,}00001 m e altura h=50\pm0{,}0001 m, usando como valor aproximado de \pi o número 3{,}1416. Precisamos achar o erro absoluto máximo no volume desse cilindro. O volume é dado por:
V = \pi\,R^2\,h.
Para estimar o erro máximo \Delta V, vamos usar a propagação linear de erros considerando as variáveis independentes R, h e \pi.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial R} = 2\,\pi\,R\,h, \quad \frac{\partial V}{\partial h} = \pi\,R^2, \quad \frac{\partial V}{\partial \pi} = R^2\,h.
O erro total aproximado é
\Delta V \approx \left|\frac{\partial V}{\partial R}\right|\Delta R + \left|\frac{\partial V}{\partial h}\right|\Delta h + \left|\frac{\partial V}{\partial \pi}\right|\Delta\pi.

Passo 3

Substituímos os valores nominais R=350, h=50 e \pi\approx3{,}1416, além dos erros \Delta R=0{,}00001, \Delta h=0{,}0001 e \Delta\pi=\bigl|\pi_{\rm real}-3{,}1416\bigr|\approx7{,}3464\times10^{-6}:
\frac{\partial V}{\partial R}\Big|_{350,50} =2\cdot3{,}1416\cdot350\cdot50\approx109956,
\frac{\partial V}{\partial h}\Big|_{350} =3{,}1416\cdot350^2\approx384846,
\frac{\partial V}{\partial \pi}\Big|_{350,50} =350^2\cdot50=6\,125\,000.

Passo 4

Agora cada contribuição ao erro:
\left|\frac{\partial V}{\partial R}\right|\Delta R \approx109956\times0{,}00001\approx1{,}10\;\mathrm{m^3},
\left|\frac{\partial V}{\partial h}\right|\Delta h \approx384846\times0{,}0001\approx38{,}48\;\mathrm{m^3},
\left|\frac{\partial V}{\partial \pi}\right|\Delta\pi \approx6\,125\,000\times7{,}3464\times10^{-6}\approx44{,}99\;\mathrm{m^3}.

Passo 5

Somando as contribuições para o erro máximo:
\Delta V\approx1{,}10 + 38{,}48 + 44{,}99 = 84{,}57\;\mathrm{m^3}.

Resposta

O erro absoluto máximo no volume é, aproximadamente, 84{,}6\;\mathrm{m^3}.

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