Deseja-se obter x e^{-x^{2}}, para x \in[0,2], com três casas decimais corretas, através de interpolação linear usando uma tabela de pontos igualmente espaçados com tamanho h. Quantos valores deve ter essa tabela?

Passo 1

O enunciado pede que a função f(x)=x\,e^{-x^{2}} em [0,2] seja aproximada por interpolação linear, de modo que o erro absoluto seja menor que 0{,}5\times10^{-3} (três casas decimais corretas). Vamos usar o estimador de erro da interpolação linear:
|f(x)-p(x)|\le \frac{h^{2}}{8}\,\max_{[0,2]}|f''(x)|,
onde h é o espaçamento entre pontos e \max|f''| é o máximo da derivada segunda em [0,2].

Passo 2

Primeiro encontramos f'(x) e f''(x).
Temos
f(x)=x\,e^{-x^{2}},
então
f'(x)=e^{-x^{2}}-2x^{2}e^{-x^{2}} =e^{-x^{2}}\,(1-2x^{2})
e, derivando novamente,
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[e^{-x^{2}}(1-2x^{2})\bigr] =e^{-x^{2}}\bigl(-2x(1-2x^{2})-4x\bigr) =e^{-x^{2}}\,(4x^{3}-6x) =2x\,(2x^{2}-3)\,e^{-x^{2}}.

Passo 3

Para aplicar o erro, precisamos de
M=\max_{x\in[0,2]}|f''(x)|.
Fazendo uma rápida análise ou tabelando valores, encontra-se que o valor máximo de |f''(x)| ocorre perto de x\approx0{,}5 e vale aproximadamente
M\approx1{,}95.

Passo 4

Queremos
\frac{h^{2}}{8}\,M\le 0{,}5\times10^{-3}.
Substituindo M\approx1{,}95,
h^{2}\le \frac{8\cdot0{,}5\times10^{-3}}{1{,}95} =\frac{0{,}004}{1{,}95}\approx0{,}00205,
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h\le\sqrt{0{,}00205}\approx0{,}0453.

Passo 5

O intervalo total tem comprimento 2-0=2, então o número de subintervalos deve satisfazer
N\ge\frac{2}{h}\approx\frac{2}{0{,}0453}\approx44{,}15.
Como N tem de ser inteiro, tomamos N=45. O número de pontos da tabela é N+1.

Resposta

A tabela deve ter 46 valores.

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