Considere os pontos: P_{0}=(1,-12), P_{1}=(3,0) e P_{2}=(-1, K).
(a) Determine o valor de K de modo que os pontos sejam colineares, utilizando interpolação polinomial, mais especificamente a forma de Lagrange;
(b) Determine a equação da reta que passa nesses pontos.

Passo 1

O enunciado dá três pontos
P_{0}=(1,-12),\quad P_{1}=(3,0),\quad P_{2}=(-1,K)
e pede:
(a) encontrar K de modo que eles sejam colineares, usando interpolação polinomial na forma de Lagrange;
(b) determinar a equação da reta que passa por esses pontos.
Conteúdo: interpolação de Lagrange e colinearidade (polinômio de grau \le1).

Passo 2

Construímos os polinômios base de Lagrange \;L_{0}(x),L_{1}(x),L_{2}(x) para abscissas 1,3,-1:
L_{0}(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(1-3)(1+1)}=\frac{(x-3)(x+1)}{-4}=-\frac{(x-3)(x+1)}{4},
L_{1}(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(3-1)(3+1)}=\frac{x^2-1}{8},
L_{2}(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(-1-1)(-1-3)}=\frac{(x-1)(x-3)}{8}.

Passo 3

O polinômio de interpolação é
P(x)=y_{0}L_{0}(x)+y_{1}L_{1}(x)+y_{2}L_{2}(x) =-12\,L_{0}(x)+0\cdot L_{1}(x)+K\,L_{2}(x).
Substituindo e expandindo:
P(x)= -12\Bigl(-\tfrac{(x-3)(x+1)}{4}\Bigr)+K\Bigl(\tfrac{(x-1)(x-3)}{8}\Bigr) =3(x^2-2x-3)+\frac{K}{8}(x^2-4x+3).
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P(x)=\Bigl(3+\tfrac{K}{8}\Bigr)x^2+\Bigl(-6-\tfrac{K}{2}\Bigr)x+\Bigl(-9+\tfrac{3K}{8}\Bigr).

Passo 4

Para que os pontos sejam colineares, P(x) deve ser de grau \le1, ou seja, o coeficiente de x^2 deve ser zero:
3+\frac{K}{8}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{K}{8}=-3 \quad\Longrightarrow\quad K=-24.

Passo 5

Com K=-24, todos os três pontos ficam na reta que passa por P_{0} e P_{1}. O coeficiente angular é
m=\frac{0-(-12)}{3-1}=\frac{12}{2}=6.
Usando ponto-inclinação em P_{0}=(1,-12):
y+12=6(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=6x-6-12 \quad\Longrightarrow\quad y=6x-18.

Resposta

(a) K=-24
(b) A equação da reta é y=6x-18.

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