QUESTÃO 159

Qual é o valor de \operatorname{sen}(2 \alpha) para \alpha tal que \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{1}{4} e \frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi. Dado: para todo número real x vale a identidade trigonométrica \operatorname{sen}(2 x)=2 \operatorname{sen}(x) \cos (x).
(4) -\frac{\sqrt{15}}{4}
(B) -\frac{\sqrt{15}}{8}
(C) \frac{\sqrt{15}}{8}
(D) -\frac{\sqrt{3}}{4}
(B) \frac{\sqrt{15}}{4}

Passo 1

O enunciado dá que \sin(\alpha)=\tfrac{1}{4} e que \alpha está no intervalo \bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr]. Pede-se \sin(2\alpha), usando a identidade trigonométrica
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).

Passo 2

Para encontrar \cos(\alpha), usamos a relação pitagórica
\cos(\alpha)=\pm\sqrt{1-\sin^2(\alpha)}
e, como \alpha está no segundo quadrante (onde o cosseno é negativo), temos
\cos(\alpha)=-\sqrt{1-\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)^2} =-\sqrt{1-\tfrac{1}{16}} =-\sqrt{\tfrac{15}{16}} =-\tfrac{\sqrt{15}}{4}.

Passo 3

Aplicando a identidade
\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
e substituindo \sin(\alpha)=\tfrac{1}{4} e \cos(\alpha)=-\tfrac{\sqrt{15}}{4}, obtemos
\sin(2\alpha) =2\cdot\tfrac{1}{4}\cdot\Bigl(-\tfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr) =-\tfrac{\sqrt{15}}{8}.

Resposta

-\tfrac{\sqrt{15}}{8}

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