Supondo a teoria de métodos iterativos e o critério de convergência estudado, responda, sob quais condiçōes o critério de Sassenfeld é satisfeito?

Passo 1

O enunciado pede para identificar as condições em que o critério de Sassenfeld garante convergência de um método iterativo (normalmente Gauss–Seidel). O que a gente vai precisar: uma matriz A = (a_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times n} com a_{ii}\neq0 para todo i, e a definição recursiva dos coeficientes de Sassenfeld \beta_i.

Passo 2

Definimos os números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n de forma recursiva:
\beta_i \;=\;\frac{1}{\lvert a_{ii}\rvert}\Bigl(\sum_{j=1}^{i-1}\lvert a_{ij}\rvert\,\beta_j \;+\;\sum_{j=i+1}^{n}\lvert a_{ij}\rvert\Bigr),
para i=1,2,\dots,n, tomando \beta_1=\frac{1}{\lvert a_{11}\rvert}\sum_{j=2}^n\lvert a_{1j}\rvert.

Passo 3

O critério de Sassenfeld diz que se
\max_{1\le i\le n}\beta_i < 1,
então a iteração de Gauss–Seidel (ou uma forma equivalente de método iterativo) converge para a solução do sistema Ax=b.

Resposta

O critério de Sassenfeld é satisfeito quando todos os \beta_i definidos acima existem (ou seja, a_{ii}\neq0) e
\max_{1\le i\le n}\beta_i < 1.

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