Questão 1. Considere o sistema de números de ponto flutuante
.
a) calcule o número de elementos do conjuto
;
b) calcule o menor múmero positivo e o maior número positivo de
;
c) calcule o menor número de
maior que 1.
a) calcule o número de elementos do conjuto
b) calcule o menor múmero positivo e o maior número positivo de
c) calcule o menor número de
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) contar quantos elementos tem o conjunto de ponto flutuante
; - (b) encontrar o menor número positivo e o maior número positivo em
; - (c) encontrar o menor número de
que seja maior que .
Informações fornecidas (vou listá‑las explicitamente):
- base (radix)
; - precisão
(ou seja, dígitos na mantissa); - expoentes variam de
a .
Assumo o formato usual de números normalizados (mantissa com primeira casa não nula) mais o zero.
Passo 2
Entendendo como são os números normalizados em tal sistema (aula rápida e prática).
Um número normalizado em base
e precisão
tem a forma
onde:
-
é o dígito mais significativo e deve satisfazer (não pode ser zero, isso é a normalização); - cada
para toma valores ; - o expoente
é inteiro e varia em .
No nosso caso com
e
:
-
só pode ser (porque em base o dígito não nulo é ); - os dígitos
podem ser ou .
Portanto a mantissa normalizada tem sempre a formacom .
Agora vamos usar isso para contar elementos.
Passo 3
Contagem dos elementos (
) — fórmula e aplicação.
Número de mantissas normalizadas possíveis:
Explicando:
escolhas para
e
escolhas independentes para os
dígitos restantes.
No nosso caso:
Essas 4 mantissas correspondem às formas binárias
.
Número de escolhas de expoente:
Cada número não nulo pode ser positivo ou negativo (2 sinais). Portanto número de números não nulos:
Incluindo o zero (um único zero), o total de elementos de
é
Passo 4
Menor e maior número positivo (
) — explicação do porquê.
- O menor mantissa normalizada é
(em decimal). - O maior mantissa normalizada é
. Calculando:
Menor número positivo (usar o menor mantissa com o menor expoente
):
Maior número positivo (usar a maior mantissa com o maior expoente
):
(Transformei
para ficar mais compacto.)
Passo 5
Menor número maior que
(
) — pensar no próximo número representável.
O número
é representado como
.
Com precisão
as mantissas possíveis (ordenadas) para o mesmo expoente
são:
Logo o próximo valor acima de
é
.
Calculando:
Uma maneira geral de ver o espaçamento: o valor da menor diferença entre números adjacentes no mesmo expoente
é
Para
e
isso dá
. Então
é o próximo.
Resposta
(a)
(b) menor positivo:
; maior positivo:
(c)