- Considere
, que possui um zero no intervalo (0,3). Calcule a sua raiz com erro inferior a
, utilizando o método da Iteração Linear.
Passo 1
O enunciado pede a raiz de (x)=x³−x−5 no intervalo (0,3) com erro inferior a 10⁻² usando o método de Iteração Linear (fixo-ponto). Vamos reescrever a equação de forma x=g(x) e iterar até que |xₙ₊₁−xₙ|<10⁻².
Passo 2
Partimos de f(x)=x³−x−5=0 e isolamos x de modo a obter uma iteração convergente. Uma escolha natural é passar o x³ para o outro lado: x³=x+5, ou seja, definimos
Passo 3
Para garantir a convergência precisamos checar que g é contração em torno da raiz. Calculamos a derivada
No intervalo aproximado em que a raiz vive (por exemplo [1,2]) temos (x+5)≥6, logo
o que assegura convergência do processo de iteração.
Passo 4
Definimos a sequência de iteração
e escolhemos um chute inicial x₀=2 (está em (0,3)).
Passo 5
Calculamos as iterações até que a diferença entre dois termos consecutivos seja menor que 10⁻²:
- x₁=\sqrt[3]{2+5}=7^{1/3}\approx1{,}9129
- x₂=\sqrt[3]{1{,}9129+5}=6{,}9129^{1/3}\approx1{,}9053
- x₃=\sqrt[3]{1{,}9053+5}=6{,}9053^{1/3}\approx1{,}9049
Aí temos |x₃−x₂|≈0{,}0004<10⁻², então paramos.
Passo 6
Concluímos que a raiz de f(x)=x³−x−5 no intervalo (0,3) obtida pelo método de Iteração Linear com erro inferior a 10⁻² é aproximadamente x≈1{,}905.
Resposta
A raiz aproximada é
com erro inferior a
.