1. Considere f(x)=x^3-x-5, que possui um zero no intervalo (0,3). Calcule a sua raiz com erro inferior a 10^-2, utilizando o método da Iteração Linear.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de (x)=x³−x−5 no intervalo (0,3) com erro inferior a 10⁻² usando o método de Iteração Linear (fixo-ponto). Vamos reescrever a equação de forma x=g(x) e iterar até que |xₙ₊₁−xₙ|<10⁻².

Passo 2

Partimos de f(x)=x³−x−5=0 e isolamos x de modo a obter uma iteração convergente. Uma escolha natural é passar o x³ para o outro lado: x³=x+5, ou seja, definimos
g(x)=raiz[3]x+5

Passo 3

Para garantir a convergência precisamos checar que g é contração em torno da raiz. Calculamos a derivada
g'(x)=13(x+5)^2/3
No intervalo aproximado em que a raiz vive (por exemplo [1,2]) temos (x+5)≥6, logo
|g'(x)|<=13cdot6^2/3<1,
o que assegura convergência do processo de iteração.

Passo 4

Definimos a sequência de iteração
xn+1=g(xn)=raiz[3]xn+5,
e escolhemos um chute inicial x₀=2 (está em (0,3)).

Passo 5

Calculamos as iterações até que a diferença entre dois termos consecutivos seja menor que 10⁻²:
  1. x₁=\sqrt[3]{2+5}=7^{1/3}\approx1{,}9129
  2. x₂=\sqrt[3]{1{,}9129+5}=6{,}9129^{1/3}\approx1{,}9053
  3. x₃=\sqrt[3]{1{,}9053+5}=6{,}9053^{1/3}\approx1{,}9049
    Aí temos |x₃−x₂|≈0{,}0004<10⁻², então paramos.

Passo 6

Concluímos que a raiz de f(x)=x³−x−5 no intervalo (0,3) obtida pelo método de Iteração Linear com erro inferior a 10⁻² é aproximadamente x≈1{,}905.

Resposta

A raiz aproximada é xapprox1,905 com erro inferior a 10^-2.

Exercícios relacionados