Encontre as raízes das funções abaixo, com erro relativo <10^-5, utilizando o método de Newton. Escolha um X0 adequado.
f(x)=x^2+e^3 x-3

Passo 1

A questão pede para encontrar as raízes da função f(x)=x^2+e^3x-3 com erro relativo menor que 10^-5, usando o método de Newton. O conteúdo principal é o método de Newton, que usa a derivada f'(x) e a iteração
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
para refinar aproximações de raízes.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada
f'(x)=2x+3e^3x
e escrevemos a fórmula de Newton de forma explícita:
xn+1=xn-xn^2+e^3xn-32xn+3e^3xn

Passo 3

Para identificar quantas raízes reais existem, observamos sinais de f(x):
  • f(0)=0^2+1-3=-2<0
  • f(1)=1+e^3-3>0
    Logo há uma raiz em (0,1).
  • f(-1)=1+e^-3-3<0
  • f(-2)=4+e^-6-3>0
    Logo há outra raiz em (-2,-1).

Passo 4

Vamos à raiz positiva. Escolhemos x0=0.5 e iteramos até que
|xn+1-xn||xn+1|<10^-5
Cálculo das iterações:
x0=0.5
x1=0.3801599,
x2=0.3532898,
x3=0.3521484,
x4=0.3521739,
x5=0.3521727,
onde em x5 já temos erro relativo approx3.5times10^-6<10^-5. Assim a raiz positiva é aproximadamente 0.3521727.

Passo 5

Agora a raiz negativa. Escolhemos x0=-1.5 e repetimos o critério de parada. Iterações:
x0=-1.5
x1=-1.749233,
x2=-1.730596,
x3=-1.730433,
x4=-1.730443,
onde em x4 o erro relativo é approx5.9times10^-6<10^-5. Assim a raiz negativa é aproximadamente -1.730443.

Resposta

As duas raízes de f(x)=x^2+e^3x-3 são, com erro relativo abaixo de 10^-5:
xapprox0.3521727 e xapprox-1.730443.

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