Encontre as raízes reais das funções abaixo com erro relativo inferior a 10^-2, usando o método da Iteração Linear:
f(x)=x^3-cos x

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes reais de f(x)=x^3-cos x usando o método da Iteração Linear (fixed-point), com erro relativo menor que 10^-2. Vamos precisar reescrever f(x)=0 na forma x=varphi(x), garantir convergência ( |varphi'|<1) e iterar até atender o critério de erro.

Passo 2

Para transformar f(x)=0 em um ponto fixo, note que x^3=cos x implica na escolha natural
varphi(x)=raiz[3]cos x=l(cos xr)^1/3

Passo 3

Antes de iterar, verificamos o critério de convergência local:
varphi'(x)=-13sin x(cos x)^2/3
Para x em torno de 0.8 0.9, numericamente |varphi'(x)|<0.5<1, garantindo que a iteração converge.

Passo 4

Escolhemos a aproximação inicial x0=0.5 e iteramos segundo
xn+1=varphi(xn)=l(cos xnr)^1/3,
parando quando
|xn+1-xn||xn+1|<10^-2

Passo 5

Calculando algumas iterações:
x0=0.5
x1=(cos0.5)^1/3approx0.9580
x2=(cos0.9580)^1/3approx0.8318
x3=(cos0.8318)^1/3approx0.8773
x4=(cos0.8773)^1/3approx0.8606
x5=(cos0.8606)^1/3approx0.8672
Verificamos o erro relativo na última iteração:
|0.8672-0.8606|0.8672approx0.0076<0.01,
logo podemos parar.

Passo 6

Concluímos que a única raiz real de f(x)=x^3-cos x aproximada com erro relativo inferior a 10^-2 é cerca de 0.8672.

Resposta

x \approx 0.8672

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