Considere o problema de valor inicial:
10 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=\delta(t-\pi) \cos t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{10}
Resolva utilizando a transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
10\,y''(t)-3\,y'(t)-4\,y(t)=\delta(t-\pi)\cos t, \quad y(0)=0,\;y'(0)=\tfrac1{10}
usando transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas
L\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\quad L\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e a propriedade da delta de Dirac
L\{\delta(t-a)f(t)\}(s)=e^{-a s}f(a).

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados da equação:
10\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) -3\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) -4Y(s) = L\{\delta(t-\pi)\cos t\}(s).
Como y(0)=0 e y'(0)=\tfrac1{10}, o lado esquerdo fica
10\bigl(s^2Y(s)-\tfrac1{10}\bigr)-3sY(s)-4Y(s) =10s^2Y(s)-1-3sY(s)-4Y(s).
O lado direito é
L\{\delta(t-\pi)\cos t\}(s) =e^{-\pi s}\cos(\pi) =-e^{-\pi s},
pois \cos\pi=-1.

Passo 3

Reunindo termos de Y(s):
10s^2Y(s)-3sY(s)-4Y(s)=1-e^{-\pi s},
ou seja
Y(s)\bigl(10s^2-3s-4\bigr) =1-e^{-\pi s},
portanto
Y(s)=\frac{1-e^{-\pi s}}{10s^2-3s-4}.

Passo 4

Fatoramos o denominador 10s^2-3s-4. As raízes são
s=\frac{3\pm\sqrt{9+160}}{20}=\frac{3\pm13}{20},
logo s_1=\tfrac45, s_2=-\tfrac12, e
10s^2-3s-4=10\,(s-\tfrac45)(s+\tfrac12).
Fazemos a fração parcial
\frac1{(s-\tfrac45)(s+\tfrac12)} =\frac{A}{s-\tfrac45}+\frac{B}{s+\tfrac12},
com A\,(s+\tfrac12)+B\,(s-\tfrac45)=1. Em s=\tfrac45 vem A\cdot\tfrac{13}{10}=1\Rightarrow A=\tfrac{10}{13},
e em s=-\tfrac12 vem B\cdot(-\tfrac{13}{10})=1\Rightarrow B=-\tfrac{10}{13}.
Logo
\frac1{10s^2-3s-4} =\frac1{10}\Bigl(\frac{10/13}{s-\tfrac45}-\frac{10/13}{s+\tfrac12}\Bigr) =\frac1{13}\Bigl(\frac1{s-\tfrac45}-\frac1{s+\tfrac12}\Bigr).

Passo 5

Escrevemos
Y(s) =\frac{1}{13}\Bigl(\frac1{s-\tfrac45}-\frac1{s+\tfrac12}\Bigr) -\frac{e^{-\pi s}}{13}\Bigl(\frac1{s-\tfrac45}-\frac1{s+\tfrac12}\Bigr).
Invertendo a transformada, usando
L^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}=e^{a t},\quad L^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a),
obtemos
y(t) =\frac1{13}\bigl(e^{\frac45t}-e^{-\frac12t}\bigr) -\frac1{13}\,u(t-\pi)\bigl(e^{\frac45(t-\pi)}-e^{-\frac12(t-\pi)}\bigr).

Resposta

y(t) =\frac1{13}\Bigl(e^{\tfrac45 t}-e^{-\tfrac12 t}\Bigr) -\frac1{13}\,u(t-\pi)\Bigl(e^{\tfrac45 (t-\pi)}-e^{-\tfrac12 (t-\pi)}\Bigr).

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