3 Uma pessoa deve a outra a importância de $12.400,00. Para a liquidação da dívida, propõe os seguintes pagamentos: \3.500,00 ao final de 2 meses;$ 4.000,00 ao final de 5 meses; \ 1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo de 3 \% ao mês a taxa efetiva de juros compostos cobrada no empréstimo, pede-se calcular o valor do último pagamento.

Passo 1

O enunciado dá uma dívida de R$ 12400,00 hoje, com taxa efetiva de juros compostos de 3\% ao mês, e propõe quatro pagamentos:
– R$ 3500,00 ao final de 2 meses
– R$ 4000,00 ao final de 5 meses
– R$ 1700,00 ao final de 7 meses
– um valor X ao final de 12 meses
O conteúdo é equivalência de capitais em juros compostos: precisamos trazer todos os fluxos a um mesmo instante a fim de resolver para X.

Passo 2

Escolhemos o instante de 12 meses como data de acumulação. A condição de equivalência é que o valor futuro da dívida hoje seja igual à soma dos valores futuros de cada pagamento em 12 meses. Assim,
12400\cdot(1{,}03)^{12} = 3500\cdot(1{,}03)^{10} + 4000\cdot(1{,}03)^{7} + 1700\cdot(1{,}03)^{5} + X.

Passo 3

Calculamos os fatores de acumulação: \,(1{,}03)^{5}\approx1{,}1593,\;(1{,}03)^{7}\approx1{,}2299,\;(1{,}03)^{10}\approx1{,}3439,\;(1{,}03)^{12}\approx1{,}4258.

Passo 4

Agora calculamos cada termo no instante 12:
– Valor futuro da dívida:
12400\cdot1{,}4258\approx17668{,}86.
– Valores futuros dos pagamentos:
3500\cdot1{,}3439\approx4703{,}70,\quad 4000\cdot1{,}2299\approx4919{,}49,\quad 1700\cdot1{,}1593\approx1970{,}76.

Passo 5

Substituindo na equação e isolando X:
X =17668{,}86 -\bigl(4703{,}70+4919{,}49+1970{,}76\bigr) =17668{,}86-11593{,}95 \approx6074{,}91.

Resposta

O último pagamento deve ser de aproximadamente R$ 6074,91.

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