Questão 5 Sabendo que a única raiz positiva da equação 4 \cos x-e^{x}=0 encontra-se no intervalo [0,1], use uma parábola para determinar uma aproximação para essa raiz.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=4\cos x - e^{x}
no intervalo [0,1]. Para aproximá-la por uma parábola, vamos usar o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de x=0. Precisamos de f(0), f'(0) e f''(0).

Passo 2

Calculemos as derivadas de f:
f(x)=4\cos x - e^{x}, \quad f'(x)=-4\sin x - e^{x}, \quad f''(x)=-4\cos x - e^{x}.
Em x=0 temos
f(0)=4\cdot1 - 1 = 3, \quad f'(0)=-4\cdot0 - 1 = -1, \quad f''(0)=-4\cdot1 - 1 = -5.

Passo 3

O polinômio de Taylor de grau 2 centrado em 0 é
P(x)=f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2}\,x^2 = 3 - x - \frac{5}{2}\,x^2.

Passo 4

Para encontrar a raiz aproximada, resolvemos
P(x)=0 \;\Longrightarrow\; -\frac{5}{2}x^2 - x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{5}{2}x^2 + x - 3 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-1\pm\sqrt{1 + 4\cdot\frac{5}{2}\cdot3}}{2\cdot\frac{5}{2}} =\frac{-1\pm\sqrt{1+30}}{5} =\frac{-1\pm\sqrt{31}}{5}.
Como estamos em [0,1], tomamos o sinal “ +”:
x\approx\frac{-1+\sqrt{31}}{5}\approx0,9136.

Resposta

A aproximação da raiz positiva é aproximadamente 0,9136.

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