Resolva o seguinte problema de valor inicial utilizando o método da série de potências em torno de x=0 :
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+8 y=0, \quad y(0)=12, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 2x\,y' + 8y = 0
com as condições iniciais y(0)=12 e y'(0)=0, usando série de potências em torno de x=0. Vamos supor
y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
e determinar os coeficientes a_n via substituição.

Passo 2

Calculamos as derivadas em série:
y'(x) = \sum_{n=0}^\infty (n+1)\,a_{n+1}\,x^n,
y''(x) = \sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.

Passo 3

Substituindo em
y'' - 2x\,y' + 8y = 0
obtemos
\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n -2\sum_{n=1}^\infty n\,a_n x^n +8\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = 0.
Igualando coeficiente de x^0:
2\,a_2 + 8\,a_0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_2 = -4\,a_0.
Para n\ge1 o coeficiente de x^n dá a recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} + (8-2n)\,a_n = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2} = \frac{2n-8}{(n+2)(n+1)}\,a_n.

Passo 4

Pelas condições iniciais temos a_0=y(0)=12 e a_1=y'(0)=0. Da recorrência vemos que todos os a_{2k+1} são zero. Para os pares:
a_2 = -4\,a_0 = -48,
a_4 = \frac{2\cdot2 - 8}{4\cdot3}\,a_2 = \frac{-4}{12}(-48)=16,
a_6 = \frac{2\cdot4 - 8}{6\cdot5}\,a_4 = 0,
e daí a_{2k}=0 para k\ge3.

Passo 5

A série truncada é
y(x) = a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 = 12 \;-\;48\,x^2 \;+\;16\,x^4.

Resposta

y(x) = 12 - 48\,x^2 + 16\,x^4.

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