Considere o produto escalar entre duas funções f(x) e g(x) definido por
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x) g(x) d x
Calcule para: onde n \neq 0.
f(x)=\sin (n x), g(x)=\sin (n x)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Produto escalar definido por \langle f\mid g\rangle=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x)\,g(x)\,dx.
  • As funções são f(x)=\sin(nx) e g(x)=\sin(nx).
  • Foi dito que n\neq 0.
    O pedido é calcular \langle f\mid g\rangle para essas funções, isto é calcular
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(nx)\,dx.

Passo 2

Observação sobre conjugado e paridade (passo didático):
  • As funções \sin(nx) são reais, portanto f^{*}(x)=f(x) e o conjugado não altera nada aqui.
  • A integral vai de -\pi a \pi; como \sin^{2}(nx) é função par (isto é, \sin^{2}(-nx)=\sin^{2}(nx)), pode-se integrar normalmente sem problemas de simetria.
Agora vou transformar a integral usando uma identidade trigonométrica simples e muito útil:
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Explicando essa identidade: ela vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta. Isolando \sin^{2}\theta obtém-se a identidade acima. Aqui \theta=nx.

Passo 3

Aplicando a identidade à integranda:
\sin^{2}(nx)=\frac{1-\cos(2nx)}{2}.
Substituindo na integral do produto escalar obtemos
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos(2nx)}{2}\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(1-\cos(2nx)\bigr)\,dx.

Passo 4

Vou calcular as duas integrais separadamente (mostrar passo a passo para você poder reproduzir na prova):
  1. Integral da constante:
\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx = [x]_{-\pi}^{\pi}=\pi-(-\pi)=2\pi.
  1. Integral do cosseno:
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx = \left[\frac{\sin(2nx)}{2n}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(2n\pi)-\sin(-2n\pi)}{2n}.
Agora note que \sin(-2n\pi)=-\sin(2n\pi), então o numerador fica 2\sin(2n\pi) e a integral vale \dfrac{\sin(2n\pi)}{n}.

Passo 5

Interpretação do resultado da integral do cosseno e conclusão (parte didática importante):
  • Em contextos de séries de Fourier costuma-se tomar n um inteiro não nulo. Para inteiro n temos \sin(2n\pi)=0, portanto a integral do cosseno sobre [-\pi,\pi] é zero.
    Substituindo os resultados no produto escalar:
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{2\pi}\bigl(2\pi-0\bigr)=1.
Observação extra (para caso queira saber): se n não for inteiro a integral do termo \cos(2nx) não precisa ser zero; a expressão geral seria
\langle f\mid g\rangle=1-\frac{\sin(2n\pi)}{2\pi n},
mas, como é habitual no contexto onde n é índice de modo (número inteiro não nulo), obtemos o valor unitário acima.

Resposta

1

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