Considere o produto escalar entre duas funções
e
definido por
Calcule para: onde
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Produto escalar definido por
. - As funções são
e . - Foi dito que
.
O pedido é calcularpara essas funções, isto é calcular
Passo 2
Observação sobre conjugado e paridade (passo didático):
- As funções
são reais, portanto e o conjugado não altera nada aqui. - A integral vai de
a ; como é função par (isto é, ), pode-se integrar normalmente sem problemas de simetria.
Agora vou transformar a integral usando uma identidade trigonométrica simples e muito útil:
Explicando essa identidade: ela vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo
. Isolando
obtém-se a identidade acima. Aqui
.
Passo 3
Aplicando a identidade à integranda:
Substituindo na integral do produto escalar obtemos
Passo 4
Vou calcular as duas integrais separadamente (mostrar passo a passo para você poder reproduzir na prova):
- Integral da constante:
- Integral do cosseno:
Agora note que
, então o numerador fica
e a integral vale
.
Passo 5
Interpretação do resultado da integral do cosseno e conclusão (parte didática importante):
- Em contextos de séries de Fourier costuma-se tomar
um inteiro não nulo. Para inteiro temos , portanto a integral do cosseno sobre é zero.
Substituindo os resultados no produto escalar:
Observação extra (para caso queira saber): se
não for inteiro a integral do termo
não precisa ser zero; a expressão geral seria
mas, como é habitual no contexto onde
é índice de modo (número inteiro não nulo), obtemos o valor unitário acima.