Considere o PVI onde cd yd x=1x(2 y+x+1) y(1)=0,5 é a sua solução analítica.
Encontre a solução aproximada usando o Método de Euler (Runge-Kutta de 1a ordem) com y(xj)=2 x^2-x-12 considerando h=0,125. Calcule os erros cometidos.
x in[1,2]
ARREDONDAR em aproximadamente 8 casas decimais.
yj+1=yj+h cdot f(xj, yj) e xj+1=xj+h j xj yj Erro y(xj)
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Passo 1

O exercício pede para aproximar a solução do PVI
y'(x)=1x,(2y+x+1), y(1)=0.5,
no intervalo yrm exata(x)=2x^2 - x - tfrac12 usando o método de Euler (RK de 1ª ordem) com passo . A solução exata é
Conteúdo: método de Euler para EDOs ( ), cálculo de erro absoluto . Vamos precisar de:
  1. Definir .
  2. Iterar de até (pois ).
  3. Calcular o valor exato e o erro em cada nó.

Passo 2

Método de Euler:
xj+1&=xj + h, yj+1&=yj + h,f(xj,yj),
onde
f(x,y)=2y + x + 1x
Começamos em , . Em cada passo:
  1. Avaliar .
  2. Atualizar .
  3. Calcular .
  4. Erro: .

Passo 3

Cálculo dos primeiros três nós ( ):
  • :
  • :




  • :




Passo 4

Próximos três nós ( ):
  • :



  • :



  • :



Passo 5

Últimos três nós ( ):
  • :



  • :



  • :



Resposta

j xj yj y(xj) Erro
0 1.00000000 0.50000000 0.50000000 0.00000000
1 1.12500000 0.87500000 0.90625000 0.03125000
2 1.25000000 1.30555556 1.37500000 0.06944444
3 1.37500000 1.79166667 1.90625000 0.11458333
4 1.50000000 2.33333333 2.50000000 0.16666667
5 1.62500000 2.93055556 3.15625000 0.22569444
6 1.75000000 3.58333333 3.87500000 0.29166667
7 1.87500000 4.29166667 4.65625000 0.36458333
8 2.00000000 5.05555556 5.50000000 0.44444444

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