Utilizando o método da bisseção, refinar o intervalo que contém a raiz de f(x)=e^x+x, considerando [-1,0] como intervalo inicial. A condição de parada é varepsilon <= 10^-3, ou um máximo de 4 iterações. Dentro do intervalo refinado, dê a sua aproximação barxi para a raiz da função.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a raiz da função
f(x)=e^x + x
no intervalo inicial , usando o método da bisseção. A parada deve acontecer quando o tamanho do intervalo for menor ou igual a ou depois de, no máximo, 4 iterações.
Conteúdo que vamos usar:
  • Teorema do valor intermediário (se e têm sinais opostos, existe raiz em ).
  • Método da bisseção: a cada passo, dividimos o intervalo ao meio, calculamos , avaliamos e escolhemos o subintervalo que mantém a mudança de sinal.
  • Critério de parada por número de iterações ou tamanho do intervalo.

Passo 2

Primeira iteração:
a) Intervalo atual: f(-1)=e^-1+(-1)approx0,3679-1=-0,6321, f(0)=e^0+0=1 , m1=-1+02=-0,5, f(-0.5)=e^-0.5-0.5approx0,6065-0.5=0,1065 .
b) Avaliações:
[a1,b1]=[-1,,-0.5]
Como , há raiz em .
c) Ponto médio:
d) Sinal: e , então a raiz está em . Novo intervalo:

Passo 3

Segunda iteração:
a) m2=-1+(-0.5)2=-0,75, f(-0.75)=e^-0.75-0.75approx0,4724-0.75=-0,2776 , [a2,b2]=[-0.75,,-0.5] .
b) Ponto médio:
c) Sinal: e , raiz em .

Passo 4

Terceira iteração:
a) m3=-0.75+(-0.5)2=-0,625, f(-0.625)=e^-0.625-0.625approx0,5353-0.625=-0,0897 , [a3,b3]=[-0.625,,-0.5] .
b) Ponto médio:
c) Sinal: e , raiz em .

Passo 5

Quarta iteração:
a) m4=-0.625+(-0.5)2=-0,5625, f(-0.5625)=e^-0.5625-0.5625approx0,5698-0.5625=0,0073 , [a4,b4]=[-0.625,,-0.5625] .
b) Ponto médio:
c) Sinal: e , raiz em .
Parou porque fizemos 4 iterações (tá acima de , mas era o teto).

Resposta

Intervalo refinado: barxi=-0.625+(-0.5625)2=-0,59375 .
Aproximação da raiz (ponto médio):

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