Considere o PVI: y^prime=y x^2-y^2, y(0)=1.
Encontre y(2) aproximadamente com h=0.5, h=0.25,
Qual é a principal desvantagem para usar o método de passo multiplo implícito de 4a. ordem (Adams-Moulton de 4a. ordem)? Como pode se resolver essa dificuldade?

Passo 1

Beleza, temos um problema de valor‐inicial (PVI)
y'=y,x^2 - y^2, y(0)=1,
e queremos achar uma aproximação de usando dois tamanhos de passo e .
Isso cai em Métodos Numéricos para EDOs – em particular a gente vai usar o Método de Euler Explícito (que é o mais simples) para gerar essas aproximações.
Além disso, perguntam qual a “pegadinha” do método de passo‐múltiplo implícito de 4ª ordem (Adams–Moulton) e como a gente contorna isso.

Passo 2

Primeiro, a teoria do Método de Euler Explícito: para
y'=f(x,y),
com yn+1=yn + h,f(xn,yn) e passo , a fórmula é
Simples: a gente usa a inclinação em pra “pular” até .

Passo 3

Aproximação com y(2)approx boxed1.0341(,h=0.5,) .
Começando em , e :
  1. :

  2. :

  3. :

  4. :

    .
    Como , temos

Passo 4

Aproximação com y(2)approx boxed1.5860(,h=0.25,) . Agora são 8 passos até . Seguindo a mesma conta:
  1. .
    Logo

Passo 5

Discutindo o Adams–Moulton de 4ª ordem (método multistep implícito):
  • Principal desvantagem: em cada passo a fórmula envolve dentro de . Ou seja, dá uma equação não‐linear pra resolver a cada iteração!
  • Como contornar essa dificuldade?
    1. Usa um método “preditor–corretor”: primeiro você prediz com um Adams–Bashforth explícito e aí substitui na parte implícita pra corrigir;
    2. ou aplica um método iterativo (p.ex. ponto‐fixo ou Newton) para resolver a equação implícita em ;
    3. e, como é multistep, precisa de valores iniciais – normalmente obtidos com um método de passo‐único (por ex. RK4).

Resposta

com ,
com .
O Adams–Moulton 4ª ordem é implícito e gera uma equação não‐linear a cada passo; a gente resolve isso usando preditor–corretor ou métodos iterativos (Newton, ponto‐fixo) e obtém os primeiros valores com um método de passo‐único.

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