Considere o PVI:
.
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aproximadamente com
,
Qual é a principal desvantagem para usar o método de passo multiplo implícito de 4a. ordem (Adams-Moulton de 4a. ordem)? Como pode se resolver essa dificuldade?
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Qual é a principal desvantagem para usar o método de passo multiplo implícito de 4a. ordem (Adams-Moulton de 4a. ordem)? Como pode se resolver essa dificuldade?
Passo 1
Beleza, temos um problema de valor‐inicial (PVI)
e queremos achar uma aproximação de
usando dois tamanhos de passo
e
.
Isso cai em Métodos Numéricos para EDOs – em particular a gente vai usar o Método de Euler Explícito (que é o mais simples) para gerar essas aproximações.
Além disso, perguntam qual a “pegadinha” do método de passo‐múltiplo implícito de 4ª ordem (Adams–Moulton) e como a gente contorna isso.
Isso cai em Métodos Numéricos para EDOs – em particular a gente vai usar o Método de Euler Explícito (que é o mais simples) para gerar essas aproximações.
Além disso, perguntam qual a “pegadinha” do método de passo‐múltiplo implícito de 4ª ordem (Adams–Moulton) e como a gente contorna isso.
Passo 2
Primeiro, a teoria do Método de Euler Explícito: para
com
e passo
, a fórmula é
Simples: a gente usa a inclinação em
pra “pular” até
.
Passo 3
Aproximação com
.
Começando em , e
:
Começando em
-
:
-
:
-
:
-
:
.
Como, temos
Passo 4
Aproximação com
. Agora são 8 passos até
. Seguindo a mesma conta:
-
-
-
-
-
-
-
-
.
Logo
Passo 5
Discutindo o Adams–Moulton de 4ª ordem (método multistep implícito):
- Principal desvantagem: em cada passo a fórmula envolve
dentro de . Ou seja, dá uma equação não‐linear pra resolver a cada iteração! - Como contornar essa dificuldade?
- Usa um método “preditor–corretor”: primeiro você prediz
com um Adams–Bashforth explícito e aí substitui na parte implícita pra corrigir; - ou aplica um método iterativo (p.ex. ponto‐fixo ou Newton) para resolver a equação implícita em
; - e, como é multistep, precisa de valores iniciais
– normalmente obtidos com um método de passo‐único (por ex. RK4).
- Usa um método “preditor–corretor”: primeiro você prediz
Resposta
O Adams–Moulton 4ª ordem é implícito e gera uma equação não‐linear a cada passo; a gente resolve isso usando preditor–corretor ou métodos iterativos (Newton, ponto‐fixo) e obtém os primeiros valores com um método de passo‐único.